Contents 2019-05

Borel-Cantelliの補題

2019-05-31 13:132019-11-29 20:34

主張

確率空間\((\Omega,A,\mathbb{P})\) 事象列\(A_1,A_2,\dots,A_n\subset A\) 事象列の上極限を

\[ \mathop{\rm lim sup}_{n\to\infty}A_n=\bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{k=n}^\infty A_k\]

と定義する。このとき、

\[ \sum_{n=1}^\infty \mathbb{P}[A_n]\lt\infty \Rightarrow \mathbb{P}[\mathop{\rm lim sup}_{n\to\infty}A_n]=0\]

が成立。以上が補題の主張。

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numpy配列ndarrayの基本操作メモ

2019-05-30 21:202019-11-29 20:34

目的

pythonでnumpy配列を扱う何がしかのコードを書く時のあるある、久しぶりに書くと目的をスマートに達成するうまい書き方がわからない。配列は特にうまい書き方をするかしないかによってコードの行数にもろに響いてくる。forのネストでぶん回すのとか昔のC言語感しかしないよね。

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とある数学の問題と解答のメモ921

2019-05-23 12:342019-11-27 17:35

問題

(1-i) 行列\(A\)に対して、ある\(n\geqq 1\)が存在して\(A^n=E\)(単位行列)であれば、\(A\)は正則である。これを示せ。

(1-ii) 2次実正方行列\(X\)を変数とする以下の方程式に解は存在するか。もし存在するならば解のひとつを求めよ。

\[ \begin{pmatrix}2&2\\4&3\end{pmatrix}X+X\begin{pmatrix}1&1\\0&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&2\\0&1\end{pmatrix}\]

(1-iii) \(n\)次正方行列\(A\)の固有値を\(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n\)で表す。この時

\[ \text{trace}(A)=\lambda_1+\lambda_2+\dots+\lambda_n\]

を示せ。

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とある数学の問題と解答のメモ621

2019-05-23 12:332019-11-29 20:24

問題

(1) \(x \)および\(b \)\(n \)次元ベクトル、\(A \)\(n\times n \)の正定対称行列、\(c \)をスカラとする。このとき

\[ f(x)=x^TAx+b^Tx+c\]

の極値および極値点を求めよ。

(2) \(n\times n\)の実行列\(A,B\)に対し、

\[ \ker A\cap\ker B\subseteq\ker(A+B)\]

が成り立つことを証明せよ。ただし\(\ker X\)は行列\(X\)で表現される線形写像の核(ゼロ空間)を表す。

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