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ハウスホルダ―変換

2018-08-16 18:072019-11-29 20:37

ハウスホルダ―変換(Householder transform)は繰り返し繰り返すことで対称行列を三重対角行列に、また非対称行列をヘッセンベルク行列に変換する相似変換の一種。相似変換は行列の固有値を変えないので、主に行列の固有値を求める問題で利用される。

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共役勾配法を理解する(2)

2018-08-16 18:062019-11-27 17:33

\(n\times n\)の正定値対象行列\(A\)\(x\in\mathbb{R}^n\)\(b\in\mathbb{R}^n\)について関数

\[ f(x)=\frac12x^\mathrm{T}Ax-b^\mathrm{T}x\tag{1}\]

を反復法によって最小化するとき、互いに\(A\)共役な方向について探索を行えば高々\(n\)回の反復で最小値に収束する。このときの\(x\)が線形方程式\(Ax=b\)の解であることは前のページで説明した。

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共役勾配法を理解する(1)

2018-08-16 18:062019-11-27 17:33

\(A\)\(n\times n\)の正方行列で正定値対称行列とする。\(x\in\mathbb{R}^n\)を変数ベクトル、\(b\in\mathbb{R}^n\)を定数ベクトルとする線形方程式

\[ Ax=b\tag{1}\]

は共役勾配法(Conjugate Gradient Method: CG法)によって解くことができる。共役勾配法ではまず、この問題を次の関数\(f(x)\)の最小化問題に取り換える。

\[ f(x)=\frac12x^\mathrm{T}Ax-b^\mathrm{T}x\tag{2}\]

このページではこの部分について詳細に説明する。

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