概要

流体力学などでもっとも基本的な事項である連続の方程式を、質量保存の観点から導き出す。また、その他様々な導出のバリエーションを紹介する。

流体を記述するパラメータ

3次元空間の位置\(\boldsymbol{x}=(x_1,x_2,x_3)^\rm{T}\)、時刻\(t\)における流体の密度を\(\rho(\boldsymbol{x},t)\)、流速ベクトルを\(\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x},t)=(u_1(\boldsymbol{x},t),u_2(\boldsymbol{x},t),u_3(\boldsymbol{x},t))\)とする。流速ベクトルは流体粒子そのものの速度ではなくその位置における流体粒子群の速度を表していることに注意。

抽象的な導出

閉曲面\(S_0\)で囲まれた3次元の領域\(V\)にある流体の質量は

\[ \int_V \rho(\boldsymbol{x},t)\rm{d}V \tag{1}\]

である。また閉局面を通して出入りする流体の質量は次のような式で求められる。

\[ \int _ {S_0} \rho(\boldsymbol{x},t)\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x},t)\cdot \boldsymbol{n}\rm{d}S \tag{2}\]

ここで、\(\boldsymbol{n}\)は閉曲面上の外向き法線ベクトルである。このようにして法線ベクトルの向きを取ると式(2)の量は領域\(V\)にある流体の減少量を表すことになる。

質量保存より式(1)と式(2)の関係は次のようになる。

\[ \frac{\partial}{\partial t}\int_V \rho(\boldsymbol{x},t)\rm{d}V = -\int_ {S_0}\rho(\boldsymbol{x},t)\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x},t)\cdot \boldsymbol{n}\rm{d}S \tag{3}\]

これが積分形の連続の方程式である。これを微分形に変形するためには式(3)の右辺をガウスの定理

\[ \int_{S_0}\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{n}\rm{d}S=\int_V\nabla\cdot\boldsymbol{v}\rm{d}V \tag{4}\]

を使って変形する。すると

\[ \frac{\partial}{\partial t}\int_V \rho(\boldsymbol{x},t)\rm{d}V = -\int_V\nabla\cdot(\rho(\boldsymbol{x},t)\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x},t))\rm{d}V \tag{5}\]

\[ \int_V\frac{\partial}{\partial t} \rho(\boldsymbol{x},t)\rm{d}V = -\int_V\nabla\cdot(\rho(\boldsymbol{x},t)\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x},t))\rm{d}V \tag{6}\]

\[ \frac{\partial}{\partial t} \rho(\boldsymbol{x},t) = -\nabla\cdot(\rho(\boldsymbol{x},t)\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x},t)) \tag{7}\]

\[ \frac{\partial}{\partial t} \rho(\boldsymbol{x},t)+\nabla\cdot(\rho(\boldsymbol{x},t)\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x},t))=0 \tag{8}\]

となって微分形の連続の方程式が得られる。ただし\(\nabla\)は微分演算子

\[ \nabla\equiv\left(\frac{\partial}{\partial x_1},\frac{\partial}{\partial x_2},\frac{\partial}{\partial x_3}\right)^\rm{T}\]

である。

ここまでわざわざ\(\rho\)\(\boldsymbol{u}\)の引数を書いて\((\boldsymbol{x},t)\)の関数であることを強調してきたが、このことに注意して積の微分公式を使うと式(8)は次のように変形される。

\[ \frac{\partial}{\partial t} \rho(\boldsymbol{x},t)+\boldsymbol{u}\cdot\nabla\rho(\boldsymbol{x},t)+\rho\nabla\cdot\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x},t)=0 \tag{9}\]

式(8)あるいは式(9)が最も一般的な形の連続の方程式である。

つづく...

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