ヤコビ法(Jacobi Method)は対称な行列の固有値と固有ベクトルを求める(固有値問題を解く)方法。線形方程式の反復解法としてのヤコビ法もあるがここでのヤコビ法はそっちのヤコビ法じゃない。
\(n\times n\)の正定値対象行列\(A\)、\(x\in\mathbb{R}^n\)、\(b\in\mathbb{R}^n\)について関数
\[ f(x)=\frac12x^\mathrm{T}Ax-b^\mathrm{T}x\tag{1}\]
を反復法によって最小化するとき、互いに\(A\)共役な方向について探索を行えば高々\(n\)回の反復で最小値に収束する。このときの\(x\)が線形方程式\(Ax=b\)の解であることは前のページで説明した。
\(A\)を\(n\times n\)の正方行列で正定値対称行列とする。\(x\in\mathbb{R}^n\)を変数ベクトル、\(b\in\mathbb{R}^n\)を定数ベクトルとする線形方程式
\[ Ax=b\tag{1}\]
は共役勾配法(Conjugate Gradient Method: CG法)によって解くことができる。共役勾配法ではまず、この問題を次の関数\(f(x)\)の最小化問題に取り換える。
\[ f(x)=\frac12x^\mathrm{T}Ax-b^\mathrm{T}x\tag{2}\]
このページではこの部分について詳細に説明する。
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確率分布\(f(x)\)に従う乱数を生成したいとする。このとき、次のように一様乱数を用いて目的の乱数を生成する方法を棄却法という。
- \(u_1\)を\(f(x)\)の定義域\([a,b]\)上の一様分布とする。
- \(u_2\)を\(f(x)\)の値域\([0,c]\)上の一様分布とする。
- \(u_2\lt f(u_1)\)でなければ棄却して以上の手順を繰り返し行う。
- \(u_1,u_2\)が上の条件を満たしたとき\(u_1\)を生成した乱数\(x\)とする。
棄却法ではこのようにして条件を満たすまで何度も一様分布に従う乱数を生成する。直観的にも採用された乱数列は目的の確率分布\(f(x)\)に従う。