問題

(1) \(x \)および\(b \)\(n \)次元ベクトル、\(A \)\(n\times n \)の正定対称行列、\(c \)をスカラとする。このとき

\[ f(x)=x^TAx+b^Tx+c\]

の極値および極値点を求めよ。

(2) \(n\times n\)の実行列\(A,B\)に対し、

\[ \ker A\cap\ker B\subseteq\ker(A+B)\]

が成り立つことを証明せよ。ただし\(\ker X\)は行列\(X\)で表現される線形写像の核(ゼロ空間)を表す。

Continue Reading...

問題

(1) 3次元実ベクトル空間において、媒介変数\(p,q\)によって定義される平面

\[ \begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}+p\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix} +q\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}\]

を考える。この平面を、\(\alpha\)を係数ベクトル、\(x\)を変数ベクトルとする方程式\(\alpha^Tx=1\)で表したとき、係数ベクトル\(\alpha\)の値を求めよ。

(2) 実数\(x,y,\alpha\)によって定義される不等式

\[ x^2+y^2+axy>0\]

を考える。この不等式が\(x=y=0\)を除くすべての\(x,y\)の組に対して成立するための必要十分条件を\(\alpha\)の範囲として求めよ。

(3) 正方の複素行列\(A\)がユニタリ行列によって対角化されるとき、\(AA^*=A^*A\)が満たされることを証明せよ。

Continue Reading...

問題

あるコインを投げると、確率\(p\)で表、確率\(q=1-p\)で裏が出る。\((0<p<1)\)このコインを投げる独立な試行を、表が出るまで繰り返す。初めて表が出るまでに投げた回数を確率変数\(T\)で表す。ただし表が出た試行も回数に含める。

(1) \(T=n (n=1,2,\dots)\)となる確率\(P(T=n)\)を求めよ。

(2) 確率変数\(T\)の期待値と分散を求めよ。

Continue Reading...

問題

(1) 確率変数\(X\)が以下の確率密度関数をもつ確率分布に従うものとする。

\[ f(x)=\left\{\begin{matrix}\sqrt{\frac1{\pi\alpha}}x^{-\frac12}e^{-\frac{x}{\alpha}}&(x>0)\\ 0&(x\leqq 0)\end{matrix}\right.\]

ここで、\(\alpha>0\)はパラメータである。

(1-1) 確率変数\(X\)の期待値を求めよ。

(1-2) 確率変数\(X\)の分散を求めよ。

(1-3) 上記の確率分布を母集団分布としてもつ母集団から\(n\)個の無作為標本\(\mathcal{X}=\{X_1,X_2,\dots,X_n\}\)が得られたとする。パラメータ\(\alpha\)の、\(\mathcal{X}\)に基づく最尤推定量を求めよ。

(1-4) 設問(1-3)で求めた最尤推定量が、パラメータ\(\alpha\)の不偏推定量であるかどうかを理由と共に答えよ。

Continue Reading...

問題

\(e\)をネイピア数(自然対数の底)とし,\(\exp(x)=e^x\)とする。

(1) 正整数\(N\)と実数\(\alpha\)を用いて,\(e=\alpha/N\)とする。

(1-1) 指数関数\(e^x\)のマクローリン展開を書け。

(1-2) 次の不等式が成り立つことを示せ。

\[ (N-1)!\alpha-\sum_{n=0}^N\frac{N!}{n!}<1\]

(1-3) 設問(1-2)の結果を用いて、実数\(\alpha\)が整数ではないことを示せ。

Continue Reading...