問題

あるコインを投げると、確率\(p\)で表、確率\(q=1-p\)で裏が出る。\((0<p<1)\)このコインを投げる独立な試行を、表が出るまで繰り返す。初めて表が出るまでに投げた回数を確率変数\(T\)で表す。ただし表が出た試行も回数に含める。

(1) \(T=n (n=1,2,\dots)\)となる確率\(P(T=n)\)を求めよ。

(2) 確率変数\(T\)の期待値と分散を求めよ。

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問題

(1) 確率変数\(X\)が以下の確率密度関数をもつ確率分布に従うものとする。

\[ f(x)=\left\{\begin{matrix}\sqrt{\frac1{\pi\alpha}}x^{-\frac12}e^{-\frac{x}{\alpha}}&(x>0)\\ 0&(x\leqq 0)\end{matrix}\right.\]

ここで、\(\alpha>0\)はパラメータである。

(1-1) 確率変数\(X\)の期待値を求めよ。

(1-2) 確率変数\(X\)の分散を求めよ。

(1-3) 上記の確率分布を母集団分布としてもつ母集団から\(n\)個の無作為標本\(\mathcal{X}=\{X_1,X_2,\dots,X_n\}\)が得られたとする。パラメータ\(\alpha\)の、\(\mathcal{X}\)に基づく最尤推定量を求めよ。

(1-4) 設問(1-3)で求めた最尤推定量が、パラメータ\(\alpha\)の不偏推定量であるかどうかを理由と共に答えよ。

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問題

\(e\)をネイピア数(自然対数の底)とし,\(\exp(x)=e^x\)とする。

(1) 正整数\(N\)と実数\(\alpha\)を用いて,\(e=\alpha/N\)とする。

(1-1) 指数関数\(e^x\)のマクローリン展開を書け。

(1-2) 次の不等式が成り立つことを示せ。

\[ (N-1)!\alpha-\sum_{n=0}^N\frac{N!}{n!}<1\]

(1-3) 設問(1-2)の結果を用いて、実数\(\alpha\)が整数ではないことを示せ。

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問題

確率変数\(X_1,X_2,\dots,X_n,\ Y_1,Y_2,\dots,Y_m\)は独立に正規分布に従い、それぞれ\(X_i\sim N(a\theta,\sigma^2),\ Y_j\sim N(b\theta,\sigma^2)\)とする。(\(i=1,2,\dots,n,\ j=1,2,\dots,m\)) ただし、\(N(\mu,\sigma^2)\)は平均\(\mu\)、分散\(\sigma^2\)の正規分布を表しており\(n,m\)は正の正数、\(a,b>0\)は定数で既知とする。\(\theta,\sigma^2\)は未知パラメータとする。

(1) \(\theta,\sigma^2\)について、\(X_1,X_2,\dots,X_n,Y_1,Y_2,\dots,Y_m\)を全て用いた最尤推定量を求めよ。

(2) 定数\(\alpha,\beta\)を用いて\(\tilde{\theta}=\alpha\overline{X}+\beta\overline{Y}\)と定義する。ただし、\(\overline{X}=(X_1+\dots,X_n)/n,\ \overline{Y}=(Y_1+\dots,Y_m)/n\)である。\(\tilde{\theta}\)の期待値\(E(\tilde{\theta})\)と分散\(V(\tilde{\theta})\)を求めよ。

(3) \(\tilde{\theta}\)\(\theta\)の不偏推定量となるために\(\alpha,\beta\)が満たす条件は何か。また、不偏推定量となる\(\tilde{\theta}\)\(V(\tilde{\theta})\)を最小にするときの\(\alpha,\beta\)の値を求めよ。

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問題

(1-1) \(x\)を実数として、次の行列のランクを求めよ。

\[ \begin{pmatrix}1&x&x\\x&1&x\\x&x&1\end{pmatrix}\]

(1-2) 整数行列\(A\)(全ての要素が整数であるような行列)について、\(A^{-1}\)も整数行列になるなら\(A\)の行列式は\(1\),\(-1\)のいずれかになることを証明せよ。

(1-3) \(A^T=-A\)を満たす実行列\(A\)について、この行列の固有値\(\lambda\)とそれに関する固有ベクトル\(x\)に対して\(A^Tx=\overline{\lambda}x\)の関係が知られている。これを用いて、行列\(A\)の固有値は純虚数になることを示せ。

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