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問題

(1) \(x \)および\(b \)\(n \)次元ベクトル、\(A \)\(n\times n \)の正定対称行列、\(c \)をスカラとする。このとき

\[ f(x)=x^TAx+b^Tx+c\]

の極値および極値点を求めよ。

(2) \(n\times n\)の実行列\(A,B\)に対し、

\[ \ker A\cap\ker B\subseteq\ker(A+B)\]

が成り立つことを証明せよ。ただし\(\ker X\)は行列\(X\)で表現される線形写像の核(ゼロ空間)を表す。

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問題

(1) 確率変数\(Z_i=(X_i,Y_i), i=1,2,\dots,n\)は独立に次のように定義される確率分布に従う。各\(X_i,Y_i\)は0または1を値にとり、\(P(X_i=1)=\alpha,\ P(Y_i=1|X_i)=\beta X_i\)とする(一般に\(X_i\)\(Y_i\)は独立ではない)。ただし\(n\)は正の整数、\(0<\alpha<1,\ 0<\beta<1\)は未知パラメータである。このとき以下の設問に答えなさい。

(1-1) 同時確率\(P(X_i=x,Y_i=y)\)\((x,y)\)の取りうるすべての値について求めなさい。ただし\(\alpha,\beta\)を用いること。

(1-2) \(Z_i,\ i=1,2,\dots,n\)をすべて用いて、\(\alpha,\beta\)の最尤推定量\(\hat\alpha_n,\hat\beta_n\)を求めなさい。

(1-3) 制約条件\(\alpha+\beta=1\)を仮定する。このとき\(Z_i,\ i=1,2,\dots,n\)をすべて用いて、\(\alpha\)の最尤推定量\(\hat\alpha_n\)を求めなさい。

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問題

(1) 以下の設問に答えよ。

(1-1) 次の値を求めよ。

\[ \int_1^\infty\frac{dx}{(x^2+1)^2}\]

(1-2) 関数\(f(x)\)は任意の\(x\ge 1\)において微分可能であり、次式を満たすとする。

\[ \begin{align} f(1)&=1\\f'(x)&=\frac{2}{\sqrt{f(x)}+1}\left(\frac{1}{x^2+\{f(x)\}^2}\right)^2 \quad(x\ge 1) \end{align}\]

このとき\(\lim_{x\to\infty}f(x)\)が有限の値に収束することを示せ。

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問題

(1) 行列\(A\)を次のようにおく。

\[ A=\begin{bmatrix}9&-26&24\\1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}\]

(1-1) 行列\(A\)の固有値をすべて求めよ。

(1-2) 行列\(B=(A-I)((A-2I)(A-3I)(A-4I)+I)\)とする。\(I\)は3次の単位行列。\(B\)の固有値をすべて求めよ。

(1-3) 設問(1-2)の行列\(B\)について、\(B^3-6B^2+11B\)をもとめよ。

(2) 最初の2項が\(x_0=2,x_1=1\)であり、それ以降直前の2項...

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前ふり

ずっと使っていたテキストエディタMeryを最新にアップデートしてみると非常に良い感じ。 ただPythonの組み込み関数(lenとかrangeとかね)がハイライトされないのが気になったので公式をみて独自に追加してみた話。複数に色分けできるようなのでPython 3.7.2の公式から予約語を取ってきてよい感じに分類した。例えば構造化制御系のifとかelseとかは同じ色に、andとかorも同じいろに、という感じ。専門家ではないのでその他の分類には異論がありえるかも。 同じくPython3.7.2の公式から組み込み関数のリストをとってきて同じ色の強調表示にぶちこんだ。組み込みライブライもい...

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