衝突積分の対称関係式

ボルツマン方程式の衝突項まわりで現れる衝突積分の対象関係式を導出する。

衝突項

分子運動論だとかに現れるボルツマン(Boltzmann)方程式の右辺のことを衝突項という。（重力などの全ての粒子に一様に働くような）外力が無い場合のボルツマン方程式は

\[ \begin{equation} \frac{\partial f}{\partial t}+\xi_i\frac{\partial f}{\partial X_i}=\Delta f_{\mathrm{collision}} \end{equation}\]

みたいな感じで右辺が衝突項になっている。この書き方は総和の規約が使われているので同じ添え字のでてくる左辺第2項は和をとるものとする。2体衝突だとか3体衝突だとかの違いで衝突項の取り方にもいろいろあるらしいがとにかく分子同士の衝突を表す項のことを衝突項といっている。考えるのはこの衝突項について。

衝突積分作用素

ここでは2体衝突のみを考慮した次のタイプの衝突項を考える。

\[ \begin{equation} J(f,f)=\frac{\sigma^2}{2m} \int_{\mathbb{R}^3\times\mathbb{S}^2} [f(\boldsymbol{\xi}'_*)f(\boldsymbol{\xi}')-f(\boldsymbol{\xi}_*)f(\boldsymbol{\xi})] \left|\boldsymbol{e}\cdot(\boldsymbol{\xi}_*-\boldsymbol{\xi})\right| d\Omega(\boldsymbol{e})d\boldsymbol{\xi}_* \end{equation}\]

ここに、\(f(\xi)=f(\boldsymbol{X},\boldsymbol{\xi},t)\)は分子の位置・速度に関する密度関数、\(\boldsymbol{X},\boldsymbol{\xi},t\)はそれぞれ位置、速度、時刻で位置と時刻は出てこないので省略してかかれている。太字は\(\mathbb{R}^3\)である。また、

\(\sigma\)は分子の直径、\(m\)は分子の質量
\(\boldsymbol{e}\in\mathbb{S}^2\)は単位球上の点であり\(|e|=1\)、\(d\Omega(e)\)は\(e\)方向の立体角素（面積素の3次元角バージョン）

さらに

\[ \begin{align} \boldsymbol{\xi}'&\equiv\boldsymbol{\xi}'(\boldsymbol{\xi},\boldsymbol{\xi}_*, \boldsymbol{e}) =\boldsymbol{\xi}+[(\boldsymbol{\xi}_*-\boldsymbol{\xi})\cdot \boldsymbol{e}]\boldsymbol{e}\\ \boldsymbol{\xi}'_*&\equiv\boldsymbol{\xi}'(\boldsymbol{\xi},\boldsymbol{\xi}_*, \boldsymbol{e}) =\boldsymbol{\xi}_*-[(\boldsymbol{\xi}_*-\boldsymbol{\xi})\cdot \boldsymbol{e}]\boldsymbol{e} \end{align}\]

とする。\(\boldsymbol{\xi}'\)と\(\boldsymbol{\xi}'_*\)の２つはいずれも\(\boldsymbol{\xi},\boldsymbol{\xi}_*,\boldsymbol{e}\)によってきまる。\(J(f,f)\)の式に直接入れ込むこともできるが式が長くなるので。ついでに\(J(f,f)\)自体はいぜんとして\(\boldsymbol{X},\boldsymbol{\xi},t\)についての関数であるので注意しておく。この衝突項を用いた（重力などの全ての粒子に一様に働くような）外力が無い場合のボルツマン方程式はすごく丁寧にかくと次のようにかける。

\[ \begin{equation} \frac{\partial f(\boldsymbol{X},\xi,t)}{\partial t} +\sum_{i=1}^3\xi_i\frac{\partial f(\boldsymbol{X},\xi,t)}{\partial X_i} =J[f,f](\boldsymbol{X},\xi,t) \end{equation}\]

外力無しの場合なので他で見るかもしれない形とくらべて左辺の第3項が無い。こう見ると確かに\(J\)は\(f\)に作用する積分作用素。ちなみに\(J(f)\)でなく\(J(f,f)\)になっている理由は

\[ \begin{equation} J(f,g)\equiv \frac{1}{4m}\int_{\mathbb{R}^3\times\mathbb{S}^2} [f(\boldsymbol{\xi}')g(\boldsymbol{\xi}'_*) +f(\boldsymbol{\xi}'_*)g(\boldsymbol{\xi}') -f(\boldsymbol{\xi})g(\boldsymbol{\xi}_*) -f(\boldsymbol{\xi}_*)g(\boldsymbol{\xi})] \left|\boldsymbol{e}\cdot(\boldsymbol{\xi}_*-\boldsymbol{\xi})\right| d\Omega(\boldsymbol{e})d\boldsymbol{\xi}_* \end{equation}\]

という一般化された衝突積分を考えると都合がいい場合がまぁ別な機会にあるから。\(f=g\)としてみると確かに最初にあげた衝突積分（collision integral）に一致していることがわかる。

対称関係式

任意の関数\(\phi=\phi(\boldsymbol{\xi})\)についてのつぎの関係を対称関係式という。正確にはここでいうところの衝突積分作用素についての対称関係式だが例えば線形化された衝突作用素（linearized collision integral）なんかでも同じことが出来る。

\[ \begin{multline} \int_{\mathbb{R}^3}\phi(\boldsymbol{\xi})J(f,f)d\boldsymbol{\xi}\\ =\frac{\sigma^2}{8m}\int_{\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3\times\mathbb{S}^2} (\phi(\boldsymbol{\xi})+\phi(\boldsymbol{\xi}_*) -\phi(\boldsymbol{\xi}')-\phi(\boldsymbol{\xi}'_*)) (f(\boldsymbol{\xi}'_*)f(\boldsymbol{\xi}') -f(\boldsymbol{\xi}_*)f(\boldsymbol{\xi})) \left|\boldsymbol{e}\cdot(\boldsymbol{\xi}_*-\boldsymbol{\xi})\right| d\Omega(\boldsymbol{e})d\boldsymbol{\xi}_*d\boldsymbol{\xi} \end{multline}\]

これを示す。まずは左辺を書き下す。

\[ \begin{align} =\frac{\sigma^2}{2m} \int_{\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3\times\mathbb{S}^2} \phi(\boldsymbol{\xi}) (f(\boldsymbol{\xi}'_*)f(\boldsymbol{\xi}') -f(\boldsymbol{\xi}_*)f(\boldsymbol{\xi})) \left|\boldsymbol{e}\cdot(\boldsymbol{\xi}_*-\boldsymbol{\xi})\right| d\Omega(\boldsymbol{e})d\boldsymbol{\xi}_*d\boldsymbol{\xi} \end{align}\]

この式は\(\boldsymbol{\xi},\boldsymbol{\xi}_*\)の両方で積分しているので、被積分関数の\(\boldsymbol{\xi}\)と\(\boldsymbol{\xi}_*\)を形式的に入れ替えたものも同じ値になるはずである。ところが\(\phi(\boldsymbol{\xi})\)に関する部分以外はいずれも\(\boldsymbol{\xi},\boldsymbol{\xi}_*\)の対称式の形をしている。これに注目するとこの式は次のように変形できる。

\[ \begin{align} =\frac{\sigma^2}{2m} \int_{\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3\times\mathbb{S}^2} \frac{\phi(\boldsymbol{\xi})+\phi(\boldsymbol{\xi}_*)}{2} (f(\boldsymbol{\xi}'_*)f(\boldsymbol{\xi}') -f(\boldsymbol{\xi}_*)f(\boldsymbol{\xi})) \left|\boldsymbol{e}\cdot(\boldsymbol{\xi}_*-\boldsymbol{\xi})\right| d\Omega(\boldsymbol{e})d\boldsymbol{\xi}_*d\boldsymbol{\xi} \end{align}\]

つまり、同じ項を2で割って分割し、片方の変数を形式的に入れ替えてからもう一度足し合わせてくくったものである。この操作をもう一度行う。

\[ \begin{align} =&\frac{\sigma^2}{2m} \int_{\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3\times\mathbb{S}^2} \frac{\phi(\boldsymbol{\xi})+\phi(\boldsymbol{\xi}_*)+\phi(\boldsymbol{\xi})+\phi(\boldsymbol{\xi}_*)}{4} (f(\boldsymbol{\xi}'_*)f(\boldsymbol{\xi}') -f(\boldsymbol{\xi}_*)f(\boldsymbol{\xi})) \left|\boldsymbol{e}\cdot(\boldsymbol{\xi}_*-\boldsymbol{\xi})\right| d\Omega(\boldsymbol{e})d\boldsymbol{\xi}_*d\boldsymbol{\xi}\\ =&\frac{\sigma^2}{8m} \int_{\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3\times\mathbb{S}^2} (\phi(\boldsymbol{\xi})+\phi(\boldsymbol{\xi}_*) +\phi(\boldsymbol{\xi})+\phi(\boldsymbol{\xi}_*)) (f(\boldsymbol{\xi}'_*)f(\boldsymbol{\xi}') -f(\boldsymbol{\xi}_*)f(\boldsymbol{\xi})) \left|\boldsymbol{e}\cdot(\boldsymbol{\xi}_*-\boldsymbol{\xi})\right| d\Omega(\boldsymbol{e})d\boldsymbol{\xi}_*d\boldsymbol{\xi} \end{align}\]

結構近づいてきたことがわかる。ここで項を前半と後半に分割する。

\[ \begin{align} =&\frac{\sigma^2}{8m} \int_{\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3\times\mathbb{S}^2} (\phi(\boldsymbol{\xi})+\phi(\boldsymbol{\xi}_*) +\textcolor{red}{\phi(\boldsymbol{\xi})+\phi(\boldsymbol{\xi}_*)}) (f(\boldsymbol{\xi}'_*)f(\boldsymbol{\xi}') -f(\boldsymbol{\xi}_*)f(\boldsymbol{\xi})) \left|\boldsymbol{e}\cdot(\boldsymbol{\xi}_*-\boldsymbol{\xi})\right| d\Omega(\boldsymbol{e})d\boldsymbol{\xi}_*d\boldsymbol{\xi} \end{align}\]

前半は完成しているのでこの赤で示した部分に注目して\(\boldsymbol{\xi},\boldsymbol{\xi}_*\)の積分を\(\boldsymbol{\xi}',\boldsymbol{\xi}'_*\)の積分に書き換えるという操作を行う。そのためにはまずヤコビアンを計算するのだが、実はこれは6変数の積分でめんどうなので結果をしめすと

\[ \begin{gather} \left|\frac{\partial(\boldsymbol{\xi}',\boldsymbol{\xi}'_*)}{\partial(\boldsymbol{\xi},\boldsymbol{\xi}_*)}\right| =1\\ \therefore\quad d\boldsymbol{\xi}_*d\boldsymbol{\xi} =d\boldsymbol{\xi}'_*d\boldsymbol{\xi}' \end{gather}\]

ちゃんとやるなら物理的な対称性から一般性を失わずに\(\boldsymbol{e}\)を特定の成分だけ1のベクトルにするとか、極座標つかって真面目にやるとかすればいいんじゃなかろうか。これについては物理的な意味を考えた方がわかると思うが図が必要なのでやめる。次に

という式の差を取って両辺に\(\boldsymbol{e}\)かけると

\[ \begin{align} \boldsymbol{\xi}'-\boldsymbol{\xi}'_* &=\boldsymbol{\xi}-\boldsymbol{\xi}_* +2[(\boldsymbol{\xi}_*-\boldsymbol{\xi})\cdot \boldsymbol{e}]\boldsymbol{e}\\ (\boldsymbol{\xi}'-\boldsymbol{\xi}'_*)\cdot\boldsymbol{e} &=-(\boldsymbol{\xi}_*-\boldsymbol{\xi})\cdot\boldsymbol{e} +2(\boldsymbol{\xi}_*-\boldsymbol{\xi})\cdot \boldsymbol{e}\\ (\boldsymbol{\xi}'-\boldsymbol{\xi}'_*)\cdot\boldsymbol{e} &=(\boldsymbol{\xi}_*-\boldsymbol{\xi})\cdot\boldsymbol{e}\\ \end{align}\]

\(\boldsymbol{e}\cdot\boldsymbol{e}=1\)をつかえるのでこうなる。地味にアスタリスクがついてるほうとの符号の付き方が入れ替わっていることに注目。これを踏まえると

\[ \begin{align} \boldsymbol{\xi}& =\boldsymbol{\xi}'+[(\boldsymbol{\xi}'_*-\boldsymbol{\xi}')\cdot \boldsymbol{e}]\boldsymbol{e}\\ \boldsymbol{\xi}_*& =\boldsymbol{\xi}'_*-[(\boldsymbol{\xi}'_*-\boldsymbol{\xi}')\cdot \boldsymbol{e}]\boldsymbol{e} \end{align}\]

がすぐにわかる。移項しただけ。これで赤字のところを変数変換する準備はできた。

\[ \begin{align} &\frac{\sigma^2}{8m} \int_{\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3\times\mathbb{S}^2} (\textcolor{red}{\phi(\boldsymbol{\xi})+\phi(\boldsymbol{\xi}_*)}) (f(\boldsymbol{\xi}'_*)f(\boldsymbol{\xi}') -f(\boldsymbol{\xi}_*)f(\boldsymbol{\xi})) \left|\boldsymbol{e}\cdot(\boldsymbol{\xi}_*-\boldsymbol{\xi})\right| d\Omega(\boldsymbol{e})d\boldsymbol{\xi}_*d\boldsymbol{\xi}\\ &=\frac{\sigma^2}{8m} \int_{\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3\times\mathbb{S}^2} (\textcolor{red}{\phi(\boldsymbol{\xi})+\phi(\boldsymbol{\xi}_*)}) (f(\boldsymbol{\xi}'_*)f(\boldsymbol{\xi}') -f(\boldsymbol{\xi}_*)f(\boldsymbol{\xi})) \left|\boldsymbol{e}\cdot(\boldsymbol{\xi}'-\boldsymbol{\xi}'_*)\right| d\Omega(\boldsymbol{e})d\boldsymbol{\xi}'_*d\boldsymbol{\xi}' \end{align}\]

といっても書き下さなければ最後の方がかわっただけでそんなに変数変換をやった感じはない。ここでも対称性を利用して全てのダッシュ付きとダッシュ無しを入れ替える。すると

\[ \begin{align} &=\frac{\sigma^2}{8m} \int_{\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3\times\mathbb{S}^2} (\textcolor{red}{\phi(\boldsymbol{\xi})+\phi(\boldsymbol{\xi}_*)}) (f(\boldsymbol{\xi}'_*)f(\boldsymbol{\xi}') -f(\boldsymbol{\xi}_*)f(\boldsymbol{\xi})) \left|\boldsymbol{e}\cdot(\boldsymbol{\xi}'-\boldsymbol{\xi}'_*)\right| d\Omega(\boldsymbol{e})d\boldsymbol{\xi}'_*d\boldsymbol{\xi}'\\ &=\frac{\sigma^2}{8m} \int_{\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3\times\mathbb{S}^2} (\textcolor{red}{\phi(\boldsymbol{\xi}')+\phi(\boldsymbol{\xi}'_*)}) (f(\boldsymbol{\xi}_*)f(\boldsymbol{\xi}) -f(\boldsymbol{\xi}'_*)f(\boldsymbol{\xi}')) \left|\boldsymbol{e}\cdot(\boldsymbol{\xi}-\boldsymbol{\xi}_*)\right| d\Omega(\boldsymbol{e})d\boldsymbol{\xi}_*d\boldsymbol{\xi}\\ &=\frac{\sigma^2}{8m} \int_{\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3\times\mathbb{S}^2} (\textcolor{red}{-\phi(\boldsymbol{\xi}')-\phi(\boldsymbol{\xi}'_*)}) (f(\boldsymbol{\xi}'_*)f(\boldsymbol{\xi}') -f(\boldsymbol{\xi}_*)f(\boldsymbol{\xi})) \left|\boldsymbol{e}\cdot(\boldsymbol{\xi}-\boldsymbol{\xi}_*)\right| d\Omega(\boldsymbol{e})d\boldsymbol{\xi}_*d\boldsymbol{\xi} \end{align}\]

ほんとに形式的に逆にしただけね。一応\(\boldsymbol{\xi},\boldsymbol{\xi}_*\)の中身もいれかわっていることに注意。すべて入れ替えたうえでもの変数の使い方と変わっていなくて唯一変わったのは赤字の部分だけ。これをもとの部分にいれると最初の対称関係式を得る。