(1-1) \(x\)を実数として、次の行列のランクを求めよ。
\[ \begin{pmatrix}1&x&x\\x&1&x\\x&x&1\end{pmatrix}\]
(1-2) 整数行列\(A\)(全ての要素が整数であるような行列)について、\(A^{-1}\)も整数行列になるなら\(A\)の行列式は\(1\),\(-1\)のいずれかになることを証明せよ。
(1-3) \(A^T=-A\)を満たす実行列\(A\)について、この行列の固有値\(\lambda\)とそれに関する固有ベクトル\(x\)に対して\(A^Tx=\overline{\lambda}x\)の関係が知られている。これを用いて、行列\(A\)の固有値は純虚数になることを示せ。
(1) 1の16乗根で偏角が正で最小のものを\(z(\neq 1)\)とするとき、次の和を求めよ。
\[ S=\sum_{k=0}^7z^{2k}\]
(2) 次の定積分の値を求めよ。ただし(\(0<a<b\))
\[ I=\int_{-\infty}^\infty \frac{dx}{(x^2+a^2)(x^2+b^2)}\]
(3) \(z=x+iy\)とするとき、関数\(f(z)=\sin(z^2)\)の実部を\(x\)と\(y\)で表せ。
(4) 複素変数\(z=x+iy\)の正則関数\(f(z)\)の実部、虚部...
(1) つぎのランダムな振幅\(A\)とランダムな位相\(\phi\)を持った正弦波信号\(X(t)=A\sin(\omega t+\phi)\)を考える。ここで、\(t\)は時間、\(\omega\)は角周波数であり、\(A,\phi\)は互いに独立とする。このとき
\[ X(t)=Y\sin\omega t+Z\cos\omega t\]
と表現し、新しい確率変数\(Y,Z\)を定義する。
(1-1) \(Y,Z\) を\(A,\phi\)で表せ。
(1-2) \(A\)の確率密度関数が
\[ p_A(x)=x\exp\left(-\frac{x^2}2\right),\quad(x\gt 0)\]
で\(\phi\)が\((0,2\pi)\)上の一様分布に従うとする。このとき、\(Y,Z\)の同時確率密度関数を計算し\(X(t)\)の確率密度関数を求めよ。
(1) \(n\times m\)の行列\(M\)の階数が\(m\)であることと、\(|M^TM|\neq 0\)が等価であることを示せ。
(2) ブロック行列
\[ \begin{bmatrix}A&B\\O&C\end{bmatrix}\]
の逆行列を求めよ。ただし\(A,B,C\)はそれぞれ\(n\times n, n\times m, m\times m\)で\(|A|\neq 0,|C|\neq 0\)である。
(3) 行列
\[ \begin{bmatrix}-5&1&4&1&1\\ 1&2&5&1&0\\ -2&0&5&0&1\\ 3&3&9&2&0\\ 0&0&-1&1&1\end{bmatrix}\]
の固有ベクトルの1つが\([1\ 2\ a\ b\ 5]^T\)であるという。\(a,b\)の値を求めよ。
(1) 実数\(x\)について、無限級数\(\lim_{M\to\infty}\sum_{m=0}^M(-x)^m\)が収束するとき、以下を計算せよ。ただし\(x^0\equiv 0\)とする。
\[ (1+x)\lim_{M\to\infty}\sum_{m=0}^M(-x)^m\]
(2) \(n\times n\)実行列\(A\)について、ある自然数\(k\)があり、\(A^k=O\)(ゼロ行列)とする。この時\(I+A\)は正則であることを示せ。