問題

(1) 確率変数$X$が以下の確率密度関数をもつ確率分布に従うものとする。

$$f(x)=\{\begin{array}{cc}\sqrt{\frac{1}{\pi \alpha }}{x}^{-\frac{1}{2}}{e}^{-\frac{x}{\alpha }}& (x>0)\\ 0& (x\leqq 0)\end{array}$$

ここで、$\alpha >0$はパラメータである。

(1-1) 確率変数$X$の期待値を求めよ。

(1-2) 確率変数$X$の分散を求めよ。

(1-3) 上記の確率分布を母集団分布としてもつ母集団から$n$個の無作為標本$\mathcal{X}=\{X_1,X_2,\dots ,X_n\}$が得られたとする。パラメータ$\alpha$の、$\mathcal{X}$に基づく最尤推定量を求めよ。

(1-4) 設問(1-3)で求めた最尤推定量が、パラメータ$\alpha$の不偏推定量であるかどうかを理由と共に答えよ。

問題

(1) つぎのランダムな振幅$A$とランダムな位相$\varphi$を持った正弦波信号$X(t)=A\sin (\omega t+\varphi )$を考える。ここで、$t$は時間、$\omega$は角周波数であり、$A,\varphi$は互いに独立とする。このとき

$$X(t)=Y\sin \omega t+Z\cos \omega t$$

と表現し、新しい確率変数$Y,Z$を定義する。

(1-1) $Y,Z$ を$A,\varphi$で表せ。

(1-2) $A$の確率密度関数が

$$p_A(x)=x\exp (-\frac{x^2}{2}),(x>0)$$

で$\varphi$が$(0,2\pi )$上の一様分布に従うとする。このとき、$Y,Z$の同時確率密度関数を計算し$X(t)$の確率密度関数を求めよ。

問題

あるコインを投げると、確率$p$で表、確率$q=1-p$で裏が出る($0<p<1$)。このコインを投げる独立な試行を、表が出るまで繰り返す。初めて表が出るまでに投げた回数を確率変数$T$で表す。ただし表が出た試行も回数に含める。

(1) $T=n(n=1,2,\dots )$となる確率$P(T=n)$を求めよ。

(2) 確率変数$T$の期待値と分散を求めよ。

問題

(1) 1の16乗根で偏角が正で最小のものを$z(\ne 1)$とするとき、次の和を求めよ。

$$S=\sum _{k=0}^7{z}^{2k}$$

(2) 次の定積分の値を求めよ。ただし($0<a<b$)

$$I={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{dx}{(x^2+a^2)(x^2+b^2)}$$

(3) $z=x+iy$とするとき、関数$f(z)=\sin (z^2)$の実部を$x$と$y$で表せ。

(4) 複素変数$z=x+iy$の正則関数$f(z)$の実部、虚部...

問題

(1) $n\times m$の行列$M$の階数が$m$であることと、$|M^{T}M|\ne 0$が等価であることを示せ。

(2) ブロック行列

$$\left[\begin{array}{cc}A& B\\ O& C\end{array}\right]$$

の逆行列を求めよ。ただし$A,B,C$はそれぞれ$n\times n,n\times m,m\times m$で$|A|\ne 0,|C|\ne 0$である。

(3) 行列

$$\left[\begin{array}{ccccc}-5& 1& 4& 1& 1\\ 1& 2& 5& 1& 0\\ -2& 0& 5& 0& 1\\ 3& 3& 9& 2& 0\\ 0& 0& -1& 1& 1\end{array}\right]$$

の固有ベクトルの1つが$[12ab5{]}^T$であるという。$a,b$の値を求めよ。