問題
(1) 確率変数
ここで、
(1-1) 確率変数
(1-2) 確率変数
(1-3) 上記の確率分布を母集団分布としてもつ母集団から
(1-4) 設問(1-3)で求めた最尤推定量が、パラメータ
(2) 確率変数
(3) 区間
を持つように関数
(4) 確率変数
このとき、次の変数変換によって得られる確率変数
解答
(1-1) 定義に従って積分を計算する。
最後は
を用いた。
(1-2)
最後は前問の計算過程を用いた。
(1-3) 機械的に計算する。まず尤度関数
これより対数尤度が
となり、これを
となる。
(1-4)
よって
(2) 公式を使っても解けるがここでは直接的に求める。
同じようにやれば公式も導くことが出来る。
(3) これは逆関数法を知っていれば即座に累積分布関数の逆関数を取ればよいとわかる。念のため導出するなら、1つ前の問の真逆をやればよい。
となるように
がわかる。実際には
(4)
ここで、
はヤコビアンのこと。外側の縦棒は絶対値。まずは最初の変換のヤコビアン。これは極座標への変換でよく出てくるように
となり、これを問題で与えられた
がわかる。次にこれを
これよりヤコビアンの逆数を求めると
次に、公式に当てはめるために
これで変換に必要なものは全てそろったので書き下すと
最後の場合分けは指数関数が
のように計算できる。一番最後はそれぞれの確率密度関数に変数分離出来ていてこれで