問題
(1) \(n\times n\)実行列\(A,B\)について以下を証明せよ。
- \(A+B\)が正則ならば\(A(A+B)^{-1}B=B(A+B)^{-1}A\)
- \(A,B\)が正則ならば\(A^{-1}+B^{-1}=A^{-1}(A+B)B^{-1}\)
- \(A,B,A+B\)が正則ならば\((A^{-1}+B^{-1})^{-1}=A(A+B)^{-1}B\)
問題
(1) \(x \)および\(b \)を\(n \)次元ベクトル、\(A \)を\(n\times n \)の正定対称行列、\(c \)をスカラとする。このとき
\[ f(x)=x^TAx+b^Tx+c\]
の極値および極値点を求めよ。
(2) \(n\times n\)の実行列\(A,B\)に対し、
\[ \ker A\cap\ker B\subseteq\ker(A+B)\]
が成り立つことを証明せよ。ただし\(\ker X\)は行列\(X\)で表現される線形写像の核(ゼロ空間)を表す。
問題
(1) \(n\times m\)の行列\(M\)の階数が\(m\)であることと、\(|M^TM|\neq 0\)が等価であることを示せ。
(2) ブロック行列
\[ \begin{bmatrix}A&B\\O&C\end{bmatrix}\]
の逆行列を求めよ。ただし\(A,B,C\)はそれぞれ\(n\times n, n\times m, m\times m\)で\(|A|\neq 0,|C|\neq 0\)である。
(3) 行列
\[ \begin{bmatrix}-5&1&4&1&1\\ 1&2&5&1&0\\ -2&0&5&0&1\\ 3&3&9&2&0\\ 0&0&-1&1&1\end{bmatrix}\]
の固有ベクトルの1つが\([1\ 2\ a\ b\ 5]^T\)であるという。\(a,b\)の値を求めよ。
問題
確率変数\(X_1,X_2,\dots,X_n,\ Y_1,Y_2,\dots,Y_m\)は独立に正規分布に従い、それぞれ\(X_i\sim N(a\theta,\sigma^2),\ Y_j\sim N(b\theta,\sigma^2)\)とする。(\(i=1,2,\dots,n,\ j=1,2,\dots,m\)) ただし、\(N(\mu,\sigma^2)\)は平均\(\mu\)、分散\(\sigma^2\)の正規分布を表しており\(n,m\)は正の正数、\(a,b>0\)は定数で既知とする。\(\theta,\sigma^2\)は未知パラメータとする。
(1) \(\theta,\sigma^2\)について、\(X_1,X_2,\dots,X_n,Y_1,Y_2,\dots,Y_m\)を全て用いた最尤推定量を求めよ。
(2) 定数\(\alpha,\beta\)を用いて\(\tilde{\theta}=\alpha\overline{X}+\beta\overline{Y}\)と定義する。ただし、\(\overline{X}=(X_1+\dots,X_n)/n,\ \overline{Y}=(Y_1+\dots,Y_m)/n\)である。\(\tilde{\theta}\)の期待値\(E(\tilde{\theta})\)と分散\(V(\tilde{\theta})\)を求めよ。
(3) \(\tilde{\theta}\)が\(\theta\)の不偏推定量となるために\(\alpha,\beta\)が満たす条件は何か。また、不偏推定量となる\(\tilde{\theta}\)が\(V(\tilde{\theta})\)を最小にするときの\(\alpha,\beta\)の値を求めよ。
問題
(1) 確率変数\(Z_i=(X_i,Y_i), i=1,2,\dots,n\)は独立に次のように定義される確率分布に従う。各\(X_i,Y_i\)は0または1を値にとり、\(P(X_i=1)=\alpha,\ P(Y_i=1|X_i)=\beta X_i\)とする(一般に\(X_i\)と\(Y_i\)は独立ではない)。ただし\(n\)は正の整数、\(0<\alpha<1,\ 0<\beta<1\)は未知パラメータである。このとき以下の設問に答えなさい。
(1-1) 同時確率\(P(X_i=x,Y_i=y)\)を\((x,y)\)の取りうるすべての値について求めなさい。ただし\(\alpha,\beta\)を用いること。
(1-2) \(Z_i,\ i=1,2,\dots,n\)をすべて用いて、\(\alpha,\beta\)の最尤推定量\(\hat\alpha_n,\hat\beta_n\)を求めなさい。
(1-3) 制約条件\(\alpha+\beta=1\)を仮定する。このとき\(Z_i,\ i=1,2,\dots,n\)をすべて用いて、\(\alpha\)の最尤推定量\(\hat\alpha_n\)を求めなさい。