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とある数学の問題と解答のメモ721

2019-05-23 12:332019-11-27 17:36

問題

(1-1) \(x\)を実数として、次の行列のランクを求めよ。

\[ \begin{pmatrix}1&x&x\\x&1&x\\x&x&1\end{pmatrix}\]

(1-2) 整数行列\(A\)(全ての要素が整数であるような行列)について、\(A^{-1}\)も整数行列になるなら\(A\)の行列式は\(1\),\(-1\)のいずれかになることを証明せよ。

(1-3) \(A^T=-A\)を満たす実行列\(A\)について、この行列の固有値\(\lambda\)とそれに関する固有ベクトル\(x\)に対して\(A^Tx=\overline{\lambda}x\)の関係が知られている。これを用いて、行列\(A\)の固有値は純虚数になることを示せ。

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とある数学の問題と解答のメモ031

2019-05-23 12:332019-11-29 20:35

問題

(1) 次の行列\(A\)を考える。

\[ A=\begin{pmatrix}1&-1&1\\1&0&-1\\-1&0&3\end{pmatrix}\]

(1-1) \(A=PJP^{-1}\)となるような行列\(P\)行列\(J\)が存在する。このとき\(J\)とそのような\(P\)のひとつを求めよ。ただし\(J\)は次の形式の行列とする。

\[ J=\begin{pmatrix}a&0&0\\0&b&1\\0&0&b\end{pmatrix}\]

(1-2) \(J^7,A^7\)を求めよ。

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とある数学の問題と解答のメモ032

2019-05-23 12:332019-11-29 20:26

問題

\(e\)をネイピア数(自然対数の底)とし,\(\exp(x)=e^x\)とする。

(1) 正整数\(N\)と実数\(\alpha\)を用いて,\(e=\alpha/N\)とする。

(1-1) 指数関数\(e^x\)のマクローリン展開を書け。

(1-2) 次の不等式が成り立つことを示せ。

\[ (N-1)!\alpha-\sum_{n=0}^N\frac{N!}{n!}<1\]

(1-3) 設問(1-2)の結果を用いて、実数\(\alpha\)が整数ではないことを示せ。

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とある数学の問題と解答のメモ821

2019-05-23 12:332019-11-29 20:26

問題

(1) 3次元実ベクトル空間において、媒介変数\(p,q\)によって定義される平面

\[ \begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}+p\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix} +q\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}\]

を考える。この平面を、\(\alpha\)を係数ベクトル、\(x\)を変数ベクトルとする方程式\(\alpha^Tx=1\)で表したとき、係数ベクトル\(\alpha\)の値を求めよ。

(2) 実数\(x,y,\alpha\)によって定義される不等式

\[ x^2+y^2+axy>0\]

を考える。この不等式が\(x=y=0\)を除くすべての\(x,y\)の組に対して成立するための必要十分条件を\(\alpha\)の範囲として求めよ。

(3) 正方の複素行列\(A\)がユニタリ行列によって対角化されるとき、\(AA^*=A^*A\)が満たされることを証明せよ。

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とある数学の問題と解答のメモ724

2019-05-23 12:332019-11-29 20:26

問題

(1) 確率変数\(X\)が以下の確率密度関数をもつ確率分布に従うものとする。

\[ f(x)=\left\{\begin{matrix}\sqrt{\frac1{\pi\alpha}}x^{-\frac12}e^{-\frac{x}{\alpha}}&(x>0)\\ 0&(x\leqq 0)\end{matrix}\right.\]

ここで、\(\alpha>0\)はパラメータである。

(1-1) 確率変数\(X\)の期待値を求めよ。

(1-2) 確率変数\(X\)の分散を求めよ。

(1-3) 上記の確率分布を母集団分布としてもつ母集団から\(n\)個の無作為標本\(\mathcal{X}=\{X_1,X_2,\dots,X_n\}\)が得られたとする。パラメータ\(\alpha\)の、\(\mathcal{X}\)に基づく最尤推定量を求めよ。

(1-4) 設問(1-3)で求めた最尤推定量が、パラメータ\(\alpha\)の不偏推定量であるかどうかを理由と共に答えよ。

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