簡単なメモ。

問い

$n\times n$行列対称$A$を次のブロック行列で表現する。

$$A=\left[\begin{array}{cc}{A}^{(n)}& A_{\cdot ,n}\\ A_{\cdot ,n}^{\mathrm{\top }}& A_{nn}\end{array}\right]$$

ここに、$A^{(n)}$は行列$A$の左上$(n-1)\times (n-1)$部分、$A_{\cdot ,n}$は行列$A$の$(n-1)\times 1$の右上側、$A_{ij}$は行列$A$の第$(i,j)$成分。このとき、

$$[(A-zI{)}^{-1}{]}_{nn}=\frac{1}{A_{nn}-z-A_{\cdot ,n}^{\mathrm{\top }}(A^{(n)}-z{I}^{(n)}{)}^{-1}{A}_{\cdot ,n}}$$

$I$は$n\times n$の単位行列を表す。これを示せ。

回答

まず$(A-zI{)}^{-1}$を次のブロック行列で表す。

$$(A-zI{)}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}B& C\\ C^{\mathrm{\top }}& E\end{array}\right]$$

$E=[(A-zI{)}^{-1}{]}_{nn}$となる。逆行列の定義からこのブロック行列は次を満たす。

$$(A-zI)\left[\begin{array}{cc}B& C\\ C^{\mathrm{\top }}& E\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{A}^{(n)}& A_{\cdot ,n}\\ A_{\cdot ,n}^{\mathrm{\top }}& A_{nn}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}B& C\\ C^{\mathrm{\top }}& E\end{array}\right]-z\left[\begin{array}{cc}B& C\\ C^{\mathrm{\top }}& E\end{array}\right]=I$$

各ブロック要素について分解すると、

$$\begin{array}{rl}{A}^{(n)}B+A_{\cdot ,n}{C}^{\mathrm{\top }}-zB& =I^{(n)}\\ A_{\cdot ,n}^{\mathrm{\top }}C+A_{nn}E-zE& =1\\ A^{(n)}C+A_{\cdot ,n}E-zC& =0\\ A_{\cdot ,n}^{\mathrm{\top }}B+A_{nn}{C}^{\mathrm{\top }}-z{C}^{\mathrm{\top }}& =0\end{array}$$

これを$E$について解く。第３式より、

$$A_{\cdot ,n}E=-(A^{(n)}-z{I}^{(n)})C$$

これは$(n-1)\times 1$ベクトル=$(n-1)\times 1$ベクトルの式。

$$C=-(A^{(n)}-z{I}^{(n)}{)}^{-1}{A}_{\cdot ,n}E$$

これを第２式に代入すると、

$$\begin{array}{rl}-A_{\cdot ,n}^{\mathrm{\top }}(A^{(n)}-z{I}^{(n)}{)}^{-1}{A}_{\cdot ,n}E+A_{nn}E-zE& =1\\ (-A_{\cdot ,n}^{\mathrm{\top }}(A^{(n)}-z{I}^{(n)}{)}^{-1}{A}_{\cdot ,n}+A_{nn}-z)E& =1\end{array}$$

従って

$$E=\frac{1}{A_{nn}-z-A_{\cdot ,n}^{\mathrm{\top }}(A^{(n)}-z{I}^{(n)}{)}^{-1}{A}_{\cdot ,n}}$$

おわりに

$(n,n)$要素について計算したが一般に第$(i,i)$要素について同様の計算が可能。