簡単なメモ。

問い

n×n行列対称Aを次のブロック行列で表現する。

A=[A(n)A,nA,nAnn]

ここに、A(n)は行列Aの左上(n1)×(n1)部分、A,nは行列A(n1)×1の右上側、Aijは行列Aの第(i,j)成分。このとき、

[(AzI)1]nn=1AnnzA,n(A(n)zI(n))1A,n

In×nの単位行列を表す。これを示せ。

回答

まず(AzI)1を次のブロック行列で表す。

(AzI)1=[BCCE]

E=[(AzI)1]nnとなる。逆行列の定義からこのブロック行列は次を満たす。

(AzI)[BCCE]=[A(n)A,nA,nAnn][BCCE]z[BCCE]=I

各ブロック要素について分解すると、

A(n)B+A,nCzB=I(n)A,nC+AnnEzE=1A(n)C+A,nEzC=0A,nB+AnnCzC=0

これをEについて解く。第3式より、

A,nE=(A(n)zI(n))C

これは(n1)×1ベクトル=(n1)×1ベクトルの式。

C=(A(n)zI(n))1A,nE

これを第2式に代入すると、

A,n(A(n)zI(n))1A,nE+AnnEzE=1(A,n(A(n)zI(n))1A,n+Annz)E=1

従って

E=1AnnzA,n(A(n)zI(n))1A,n

おわりに

(n,n)要素について計算したが一般に第(i,i)要素について同様の計算が可能。