簡単なメモ。

問い

\(n\times n\)行列対称\(A\)を次のブロック行列で表現する。

\[ A=\left[ \begin{matrix} A^{(n)} & A_{\cdot,n}\\ A^\top_{\cdot,n} & A_{nn} \end{matrix} \right]\]

ここに、\(A^{(n)}\)は行列\(A\)の左上\((n-1)\times(n-1)\)部分、\(A_{\cdot,n}\)は行列\(A\)の\((n-1)\times 1\)の右上側、\(A_{ij}\)は行列\(A\)の第\((i,j)\)成分。このとき、

\[ \begin{equation} [(A-zI)^{-1}]_{nn}= \frac{1}{A_{nn}-z-A_{\cdot,n}^\top(A^{(n)}-zI^{(n)})^{-1}A_{\cdot,n}} \end{equation}\]

\(I\)は\(n\times n\)の単位行列を表す。これを示せ。

回答

まず\((A-zI)^{-1}\)を次のブロック行列で表す。

\[ (A-zI)^{-1}=\left[ \begin{matrix} B & C\\ C^\top & E \end{matrix} \right]\]

\(E=[(A-zI)^{-1}]_{nn}\)となる。逆行列の定義からこのブロック行列は次を満たす。

\[ (A-zI)\left[ \begin{matrix} B & C\\ C^\top & E \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} A^{(n)} & A_{\cdot,n}\\ A^\top_{\cdot,n} & A_{nn} \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} B & C\\ C^\top & E \end{matrix} \right]-z\left[ \begin{matrix} B & C\\ C^\top & E \end{matrix} \right]=I\]

各ブロック要素について分解すると、

\[ \begin{align} A^{(n)}B+A_{\cdot,n}C^\top-zB&=I^{(n)}\\ A_{\cdot,n}^\top C + A_{nn}E-zE&=1\\ A^{(n)}C+A_{\cdot,n}E-zC&=0\\ A_{\cdot,n}^\top B+A_{nn}C^\top-zC^\top&=0 \end{align}\]

これを\(E\)について解く。第３式より、

\[ \begin{equation} A_{\cdot,n}E=-(A^{(n)}-zI^{(n)})C \end{equation}\]

これは\((n-1)\times 1\)ベクトル=\((n-1)\times 1\)ベクトルの式。

\[ C=-(A^{(n)}-zI^{(n)})^{-1}A_{\cdot,n}E\]

これを第２式に代入すると、

\[ \begin{align} -A_{\cdot,n}^\top(A^{(n)}-zI^{(n)})^{-1}A_{\cdot,n}E +A_{nn}E-zE&=1\\ (-A_{\cdot,n}^\top(A^{(n)}-zI^{(n)})^{-1}A_{\cdot,n} +A_{nn}-z)E&=1 \end{align}\]

従って

\[ E=\frac{1}{A_{nn}-z-A_{\cdot,n}^\top(A^{(n)}-zI^{(n)})^{-1}A_{\cdot,n}}\]

おわりに

\((n,n)\)要素について計算したが一般に第\((i,i)\)要素について同様の計算が可能。