問題
(1) 以下の設問に答えよ。
(1-1) 次の値を求めよ。
(1-2) 関数は任意のにおいて微分可能であり、次式を満たすとする。
このときが有限の値に収束することを示せ。
(1-3) 設問(1-2)で答えた関数に対してが成り立つことを示せ。
(2) 微分可能なスカラ関数に対してによって定義される3次元空間上の曲面をと記す。上の点に対して以下の直線を点におけるの法線という。
ただしのに関する偏導関数をそれぞれと表しとする。一方、点と点の距離の2乗を
とおく。次の設問に答えよ。
(2-1) 点が、上で点に最も距離が近い点であったとする。このとき、点は点におけるの法線上にあることを示せ。
(2-2) 次式によって定義される曲面をとおく。このとき、上の点におけるの法線を求めよ。
(2-3) 設問(2-2)の上に、点から最も距離が近い点が唯一ある。それを求めよ。
解答
(1-1) と置換する。、さらにのときである。
(1-2) まずの符号について、2乗の中は当然常に正、さらにその前もが正であること踏まえて正。よってがわかる。従ってにおいては増加関数ということが示せる。
次に、でそこからをより大きくすると増加していくわけだからにおいてがわかる。を踏まえると
がわかる。が最大になるのは分母が最小になるときで、分母を最小にするにはを代入すればよい。以上より
において最右辺はゼロになるので挟み撃ちの原理により。よっては有限の値に収束する。
(1-3) 次の関係を使う。ちなみに微積分学の基本定理とかいうらしいが多分この名前を使っているひとはいないだろう。
これにをいれて移項して計算をしていくと
より示せた。ちなみに当たり前だが最後はを使っている。この問題においてはを整数でおさえられる下限だったわけだ。
(2-1) ラグランジュの未定乗数法をつかう。問題としては点が与えられていて、条件のもとでを最小にするような点を求めよ、というものになる。この問題のラグランジュ関数は
これをでそれぞれ微分してゼロとおく。の微分に関する式は条件そのものであるのでいったん他のものを計算すると
ここからを消去するために、まずそれぞれをについて解き、それらを等号でつなぐ。
これを満たすようなが条件を満たして(曲面上にあって)かつ点からの距離を最小にする点である。ところがいまそのような点はであるとしていた。
もともとのこの問題における法線の定義式と見比べよ。これより点は確かに法線上の点である。
(2-2) これはとして定義に代入するだけである。
条件はなので、つまりかつなので分母がアレになる心配はない。条件が若干回りくどい。
(2-3) これも(2-1)を具体的にやるだけだ。簡単すぎやしないだろうか。今、前問で法線の式は得られているのでを代入してについて解けばよい。
のだが、よく考えればわかるのだがこれだと式が足らなくても使う。は曲面上にあるので。
これでほとんど終わり。分母を払ったせいで他のも出てきそうだが既にが見つかったのでこれが答えだろう。確認してもよいが、設問はただ1つといっているので残りのは多分負の値のはず。解の公式つかってざっと正負だけ見積もってやるとやはり負なのでこれ以上の計算は必要ない。
よって答えは。