とある数学の問題と解答のメモ232

/ Math Exercise

問題

(1) 以下の設問に答えよ。

(1-1) 次の値を求めよ。

1dx(x2+1)2

(1-2) 関数f(x)は任意のx1において微分可能であり、次式を満たすとする。

f(1)=1f(x)=2f(x)+1(1x2+{f(x)}2)2(x1)

このときlimxf(x)が有限の値に収束することを示せ。

(1-3) 設問(1-2)で答えた関数f(x)に対してlimxf(x)<5/4が成り立つことを示せ。

(2) 微分可能なスカラ関数g(x,y,z)に対してg(x,y,z)=0によって定義される3次元空間上の曲面をSと記す。S上の点(a,b,c)に対して以下の直線を点(a,b,c)におけるSの法線という。

xagx(a,b,c)=ybgy(a,b,c)=zcgz(a,b,c)

ただしg(x,y,z)x,y,zに関する偏導関数をそれぞれgx,gy,gzと表しgx0,gy0,gz0とする。一方、点(x,y,z)と点(p,q,r)の距離の2乗を

f(x,y,z)=(xp)2+(yq)2+(zr)2

とおく。次の設問に答えよ。

(2-1) 点(a,b,c)が、S上で点(p,q,r)に最も距離が近い点であったとする。このとき、点(p,q,r)は点(a,b,c)におけるSの法線上にあることを示せ。

(2-2) 次式によって定義される曲面をS1とおく。このとき、S1上の点(a,b,c), ab0におけるS1の法線を求めよ。

z=x2+y2

(2-3) 設問(2-2)のS1上に、点(1,22,0)から最も距離が近い点が唯一ある。それを求めよ。

解答

(1-1) x=tanθと置換する。dx=dθ/cos2θ、さらにx:1のときθ:π/4π/2である。

1dx(x2+1)2=π/4π/21(tan2θ+1)2dθcos2θ=π/4π/21(1/cos2θ)2dθcos2θ=π/4π/2cos2θdθ=π/4π/21+cos2θ2dθ=12[θ+12sin2θ]π/4π/2=12(π2+0π412)=π814

(1-2) まずf(x)の符号について、2乗の中は当然常に正、さらにその前もf(x)が正であること踏まえて正。よってf(x)0がわかる。従ってx1においてf(x)は増加関数ということが示せる。

次に、f(1)=1でそこからx1より大きくすると増加していくわけだからx1においてf(x)1がわかる。f(x)1を踏まえると

2f(x)+1(1x2+{f(x)}2)21(x2+1)2

がわかる。f(x)が最大になるのは分母が最小になるときで、分母を最小にするにはf(x)=1を代入すればよい。以上より

0f(x)1(x2+1)2

xにおいて最右辺はゼロになるので挟み撃ちの原理によりf(x)0,(x)。よってf(x)は有限の値に収束する。

(1-3) 次の関係を使う。ちなみに微積分学の基本定理とかいうらしいが多分この名前を使っているひとはいないだろう。

abf(x)dx=f(b)f(a)

これにa=1,bをいれて移項して計算をしていくと

limxf(x)=f(1)+1f(x)dx=1+1f(x)dx1+1dx(x2+1)2=1+π814=π8+34=π+68108=54

より示せた。ちなみに当たり前だが最後はπ4を使っている。この問題において5/4πを整数でおさえられる下限だったわけだ。

(2-1) ラグランジュの未定乗数法をつかう。問題としては点(p,q,r)が与えられていて、条件g(x,y,z)=0のもとでf(x,y,z)を最小にするような点を求めよ、というものになる。この問題のラグランジュ関数は

L(x,y,z,λ)=f(x,y,z)λg(x,y,z)

これをx,y,z,λでそれぞれ微分してゼロとおく。λの微分に関する式は条件そのものであるのでいったん他のものを計算すると

fx(x,y,z)λgx(x,y,z)=2(xp)λgx(x,y,z)=0fy(x,y,z)λgy(x,y,z)=2(yq)λgy(x,y,z)=0fz(x,y,z)λgz(x,y,z)=2(zr)λgz(x,y,z)=0

ここからλを消去するために、まずそれぞれをλについて解き、それらを等号でつなぐ。

λ2=xpgx(x,y,z)=yqgy(x,y,z)=zrgz(x,y,z)

これを満たすような(x,y,z)が条件を満たして(曲面上にあって)かつ点(p,q,r)からの距離を最小にする点である。ところがいまそのような点は(a,b,c)であるとしていた。

pagx(a,b,c)=qbgy(a,b,c)=rcgz(a,b,c)

もともとのこの問題における法線の定義式と見比べよ。これより点(p,q,r)は確かに法線上の点である。

(2-2) これはg(x,y,z)=zx2y2として定義に代入するだけである。

xa2a=yb2b=zc

条件はab0なので、つまりa0かつb0なので分母がアレになる心配はない。条件が若干回りくどい。

(2-3) これも(2-1)を具体的にやるだけだ。簡単すぎやしないだろうか。今、前問で法線の式は得られているのでx=1,y=22,z=0を代入してa,b,cについて解けばよい。

1a2a=22b2b=c

のだが、よく考えればわかるのだがこれだと式が足らなくてc=a2+b2も使う。(a,b,c)は曲面上にあるので。

c=a2+b2c=(12c+1)2+(222c+1)2(2c+1)2c=1+84c3+4c2+c9=0(c1)(4c2+8c+9)=0

これでほとんど終わり。分母を払ったせいで他のcも出てきそうだが既にc=10が見つかったのでこれが答えだろう。確認してもよいが、設問はただ1つといっているので残りのcは多分負の値のはず。解の公式つかってざっと正負だけ見積もってやるとやはり負なのでこれ以上の計算は必要ない。

よって答えはa=1/(2c+1)=1/3,b=22/(2c+1)=22/3,c=1