問題

(1) 1の16乗根で偏角が正で最小のものを\(z(\neq 1)\)とするとき、次の和を求めよ。

\[ S=\sum_{k=0}^7z^{2k}\]

(2) 次の定積分の値を求めよ。ただし(\(0<a<b\))

\[ I=\int_{-\infty}^\infty \frac{dx}{(x^2+a^2)(x^2+b^2)}\]

(3) \(z=x+iy\)とするとき、関数\(f(z)=\sin(z^2)\)の実部を\(x\)\(y\)で表せ。

(4) 複素変数\(z=x+iy\)の正則関数\(f(z)\)の実部、虚部をそれぞれ\(u(x,y),v(x,y)\)とする。つまり

\[ f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\]

(4-1) \(z\)を実部と虚部にそれぞれ\(\Delta x,\Delta y\)だけ移動した点を\(z_1,z_2\)とする。

\[ \frac{f(z_1)-f(z)}{z_1-z},\ \frac{f(z_2)-f(z)}{z_2-z}\]

について\(\Delta x\to 0,\Delta y\to 0\)としたときの極限値を\(u,v\)を使って表せ。

(4-2) 上の結果からCauchy-Riemannの関係式を導け。

(4-3) \(u(x,y)=x^3-3xy^2\)のとき\(f(z)\)を求めよ。

解答

(1) 明らかに\(z=e^{i2\pi/16}=e^{i\pi/8}\)、これを代入すると

\[ S=\sum_{k=0}^7z^{2k}=\frac{1-z^{16}}{1-z^2}=\frac{1-e^{i2\pi}}{1-e^{i\pi/4}}=\frac{1-1}{1-e^{i\pi/4}}=0\]

(2) 留数定理を使う。

\[ I=\int_C\frac{dz}{(z+ia)(z-ia)(z+ib)(z-ib)}= 2\pi i(\text{Res}(+ia)+\text{Res}(+ib))\\ =2\pi i\left(\frac1{2ia(b^2-a^2)}+\frac1{2ib(a^2-b^2)}\right)\\ =\frac{\pi}{b^2-a^2}\left(\frac1a-\frac1b\right) =\frac{\pi}{b^2-a^2}\frac{b-a}{ab}\\ =\frac{\pi}{ab(a+b)}\]

(3) 普通に計算する。

\[ \sin(z^2)=\frac{e^{iz^2}-e^{-iz^2}}{2i}=\frac1{2i}(e^{i(x^2+y^2+2ixy)}-e^{-i(x^2+y^2+2ixy)})\\ =\frac1{2i}(e^{-2xy}(\cos(x^2+y^2)+i\sin(x^2+y^2))\\ +e^{2xy}(\cos(x^2+y^2)-i\sin(x^2+y^2)))\\ =(e^{2xy}+e^{-2xy})\sin(x^2+y^2)+i(e^{2xy}-e^{-2xy})\cos(x^2+y^2)\]

よって\(\text{Re}(\sin z^2)=(e^{2xy}+e^{-2xy})\sin(x^2+y^2)\)

(4-1) 普通に計算する。

\[ \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x+iy)-f(x+iy)}{\Delta x}=\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\\ =u_x(x,y)+iv_x(x,y)\\ \lim_{\Delta y\to 0}\frac{f(x+i(y+\Delta y))-f(x+iy)}{i\Delta y} =\frac1i\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\\ =\frac{u_y(x,y)+iv_y(x,y)}{i}\\ =-iu_y(x,y)+v_y(x,y)\]

実はこのやり方は適用。本当は偏微分に行くまでにもう少し説明が必要。

(4-2) 正則ならば上記2つは一致していなければならない。実部と虚部を比較することでコーシー・リーマン関係式を得る。

\[ u_x(x,y)=v_y(x,y)\\ u_y(x,y)=-v_x(x,y)\]

(4-3) コーシー・リーマン関係式をつかいつつ類推する。

\[ u_x(x,y)=3x^2-3y^2=v_y(x,y)\\ u_y(x,y)=-6xy=-v_x(x,y)\\ \Rightarrow\quad v=3x^2y-y^3+C(x)\]

これより\(C(x)=0\)の場合を考えると

\[ f(z)=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3)\\ =x^3+3ix^2y-3xy^2-iy^3\\ =(x+iy)^3=z^3\]

とうまく変形出来る。

問題少なめ。

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