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Xを確率変数とし、その平均をμ=E[X]とする。このとき、ある正数σが存在して

E[eλ(Xμ)]eσ2λ2/2

を任意のλについて満たすとき、Xはパラメータσのsub-Gaussianであるという。

これが確率変数のsub-Gaussian性です。性の付き方おかしい気がしますが、、。日本語で言うと準ガウス性といったところでしょうか。訳しているところ見たことありませんが。

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確率分布f(x)に従う乱数を生成したいとする。このとき、次のように一様乱数を用いて目的の乱数を生成する方法を棄却法という。

  1. u1f(x)の定義域[a,b]上の一様分布とする。
  2. u2f(x)の値域[0,c]上の一様分布とする。
  3. u2<f(u1)でなければ棄却して以上の手順を繰り返し行う。
  4. u1,u2が上の条件を満たしたときu1を生成した乱数xとする。

棄却法ではこのようにして条件を満たすまで何度も一様分布に従う乱数を生成する。直観的にも採用された乱数列は目的の確率分布f(x)に従う。

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Uを一様分布U(0,1)に従う乱数とする。このとき、ある確率密度関数f(x)に対する累積分布関数F(x)の逆関数F1を用いて、乱数XX=F1(U)と定義するとXは分布f(x)に従う。

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主張

確率空間(Ω,A,P) 事象列A1,A2,,AnA 事象列の上極限を

lim supnAn=n=1k=nAk

と定義する。このとき、

n=1P[An]<P[lim supnAn]=0

が成立。以上が補題の主張。