(1-i) 行列\(A\)に対して、ある\(n\geqq 1\)が存在して\(A^n=E\)(単位行列)であれば、\(A\)は正則である。これを示せ。
(1-ii) 2次実正方行列\(X\)を変数とする以下の方程式に解は存在するか。もし存在するならば解のひとつを求めよ。
\[ \begin{pmatrix}2&2\\4&3\end{pmatrix}X+X\begin{pmatrix}1&1\\0&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&2\\0&1\end{pmatrix}\]
(1-iii) \(n\)次正方行列\(A\)の固有値を\(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n\)で表す。この時
\[ \text{trace}(A)=\lambda_1+\lambda_2+\dots+\lambda_n\]
を示せ。
(1) 次の行列\(A\)を考える。
\[ A=\begin{pmatrix}1&-1&1\\1&0&-1\\-1&0&3\end{pmatrix}\]
(1-1) \(A=PJP^{-1}\)となるような行列\(P\)行列\(J\)が存在する。このとき\(J\)とそのような\(P\)のひとつを求めよ。ただし\(J\)は次の形式の行列とする。
\[ J=\begin{pmatrix}a&0&0\\0&b&1\\0&0&b\end{pmatrix}\]
(1-2) \(J^7,A^7\)を求めよ。
\(e\)をネイピア数(自然対数の底)とし,\(\exp(x)=e^x\)とする。
(1) 正整数\(N\)と実数\(\alpha\)を用いて,\(e=\alpha/N\)とする。
(1-1) 指数関数\(e^x\)のマクローリン展開を書け。
(1-2) 次の不等式が成り立つことを示せ。
\[ (N-1)!\alpha-\sum_{n=0}^N\frac{N!}{n!}<1\]
(1-3) 設問(1-2)の結果を用いて、実数\(\alpha\)が整数ではないことを示せ。
(1) 3次元実ベクトル空間において、媒介変数\(p,q\)によって定義される平面
\[ \begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}+p\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix} +q\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}\]
を考える。この平面を、\(\alpha\)を係数ベクトル、\(x\)を変数ベクトルとする方程式\(\alpha^Tx=1\)で表したとき、係数ベクトル\(\alpha\)の値を求めよ。
(2) 実数\(x,y,\alpha\)によって定義される不等式
\[ x^2+y^2+axy>0\]
を考える。この不等式が\(x=y=0\)を除くすべての\(x,y\)の組に対して成立するための必要十分条件を\(\alpha\)の範囲として求めよ。
(3) 正方の複素行列\(A\)がユニタリ行列によって対角化されるとき、\(AA^*=A^*A\)が満たされることを証明せよ。
(1) 確率変数\(X\)が以下の確率密度関数をもつ確率分布に従うものとする。
\[ f(x)=\left\{\begin{matrix}\sqrt{\frac1{\pi\alpha}}x^{-\frac12}e^{-\frac{x}{\alpha}}&(x>0)\\ 0&(x\leqq 0)\end{matrix}\right.\]
ここで、\(\alpha>0\)はパラメータである。
(1-1) 確率変数\(X\)の期待値を求めよ。
(1-2) 確率変数\(X\)の分散を求めよ。
(1-3) 上記の確率分布を母集団分布としてもつ母集団から\(n\)個の無作為標本\(\mathcal{X}=\{X_1,X_2,\dots,X_n\}\)が得られたとする。パラメータ\(\alpha\)の、\(\mathcal{X}\)に基づく最尤推定量を求めよ。
(1-4) 設問(1-3)で求めた最尤推定量が、パラメータ\(\alpha\)の不偏推定量であるかどうかを理由と共に答えよ。