問題

あるコインを投げると、確率\(p\)で表、確率\(q=1-p\)で裏が出る(\(0\lt p\lt 1\))。このコインを投げる独立な試行を、表が出るまで繰り返す。初めて表が出るまでに投げた回数を確率変数\(T\)で表す。ただし表が出た試行も回数に含める。

(1) \(T=n (n=1,2,\dots)\)となる確率\(P(T=n)\)を求めよ。

(2) 確率変数\(T\)の期待値と分散を求めよ。

問題

(1-1) \(x\)を実数として、次の行列のランクを求めよ。

\[ \begin{pmatrix}1&x&x\\x&1&x\\x&x&1\end{pmatrix}\]

(1-2) 整数行列\(A\)(全ての要素が整数であるような行列)について、\(A^{-1}\)も整数行列になるなら\(A\)の行列式は\(1\),\(-1\)のいずれかになることを証明せよ。

(1-3) \(A^T=-A\)を満たす実行列\(A\)について、この行列の固有値\(\lambda\)とそれに関する固有ベクトル\(x\)に対して\(A^Tx=\overline{\lambda}x\)の関係が知られている。これを用いて、行列\(A\)の固有値は純虚数になることを示せ。

問題

(1) つぎのランダムな振幅\(A\)とランダムな位相\(\phi\)を持った正弦波信号\(X(t)=A\sin(\omega t+\phi)\)を考える。ここで、\(t\)は時間、\(\omega\)は角周波数であり、\(A,\phi\)は互いに独立とする。このとき

\[ X(t)=Y\sin\omega t+Z\cos\omega t\]

と表現し、新しい確率変数\(Y,Z\)を定義する。

(1-1) \(Y,Z\) を\(A,\phi\)で表せ。

(1-2) \(A\)の確率密度関数が

\[ p_A(x)=x\exp\left(-\frac{x^2}2\right),\quad(x\gt 0)\]

で\(\phi\)が\((0,2\pi)\)上の一様分布に従うとする。このとき、\(Y,Z\)の同時確率密度関数を計算し\(X(t)\)の確率密度関数を求めよ。

問題

(1) 1の16乗根で偏角が正で最小のものを\(z(\neq 1)\)とするとき、次の和を求めよ。

\[ S=\sum_{k=0}^7z^{2k}\]

(2) 次の定積分の値を求めよ。ただし(\(0<a<b\))

\[ I=\int_{-\infty}^\infty \frac{dx}{(x^2+a^2)(x^2+b^2)}\]

(3) \(z=x+iy\)とするとき、関数\(f(z)=\sin(z^2)\)の実部を\(x\)と\(y\)で表せ。

(4) 複素変数\(z=x+iy\)の正則関数\(f(z)\)の実部、虚部...

問題

(1) 実数\(x\)について、無限級数\(\lim_{M\to\infty}\sum_{m=0}^M(-x)^m\)が収束するとき、以下を計算せよ。ただし\(x^0\equiv 0\)とする。

\[ (1+x)\lim_{M\to\infty}\sum_{m=0}^M(-x)^m\]

(2) \(n\times n\)実行列\(A\)について、ある自然数\(k\)があり、\(A^k=O\)(ゼロ行列)とする。この時\(I+A\)は正則であることを示せ。