問題
(1) 以下の設問に答えよ。
(1-1) 次の値を求めよ。
\[ \int_1^\infty\frac{dx}{(x^2+1)^2}\]
(1-2) 関数\(f(x)\)は任意の\(x\ge 1\)において微分可能であり、次式を満たすとする。
\[ \begin{align} f(1)&=1\\f'(x)&=\frac{2}{\sqrt{f(x)}+1}\left(\frac{1}{x^2+\{f(x)\}^2}\right)^2 \quad(x\ge 1) \end{align}\]
このとき\(\lim_{x\to\infty}f(x)\)が有限の値に収束することを示せ。