問題

(1) 以下の設問に答えよ。

(1-1) 次の値を求めよ。

$${\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{dx}{(x^2+1{)}^2}$$

(1-2) 関数$f(x)$は任意の$x\ge 1$において微分可能であり、次式を満たすとする。

$$\begin{array}{rl}f(1)& =1\\ f^{\prime }(x)& =\frac{2}{\sqrt{f(x)}+1}{\left(\frac{1}{x^2+\{f(x){\}}^2}\right)}^2(x\ge 1)\end{array}$$

このとき$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)$が有限の値に収束することを示せ。

問題

(1) 行列$A$を次のようにおく。

$$A=\left[\begin{array}{ccc}9& -26& 24\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right]$$

(1-1) 行列$A$の固有値をすべて求めよ。

(1-2) 行列$B=(A-I)((A-2I)(A-3I)(A-4I)+I)$とする。$I$は3次の単位行列。$B$の固有値をすべて求めよ。

(1-3) 設問(1-2)の行列$B$について、$B^3-6B^2+11B$をもとめよ。

(2) 最初の2項が$x_0=2,x_1=1$であり、それ以降直前の2項...