概要

TeX/LaTeXは数式や図を多く含む論文・書籍・レポートなどを作成するための組版ソフトウェアである。TeXのインストールはファイルをダウンロードして解凍するだけのいたってシンプルな作業のはずなのに、なぜだかTeXのインストールをやけにハードルの高い作業と錯覚している例を多く見る。このページではWindowsでTeXを使った文書作成が実用レベルで行えるまでに必要な最も正式と思われる手順を説明する。別のPCでTeX/LaTeXを初めて使う時に参考にしよう。

主張

確率空間\((\Omega,A,\mathbb{P})\) 事象列\(A_1,A_2,\dots,A_n\subset A\) 事象列の上極限を

\[ \mathop{\rm lim sup}_{n\to\infty}A_n=\bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{k=n}^\infty A_k\]

と定義する。このとき、

\[ \sum_{n=1}^\infty \mathbb{P}[A_n]\lt\infty \Rightarrow \mathbb{P}[\mathop{\rm lim sup}_{n\to\infty}A_n]=0\]

が成立。以上が補題の主張。

目的

pythonでnumpy配列を扱う何がしかのコードを書く時のあるある、久しぶりに書くと目的をスマートに達成するうまい書き方がわからない。配列は特にうまい書き方をするかしないかによってコードの行数にもろに響いてくる。forのネストでぶん回すのとか昔のC言語感しかしないよね。

問題

(1-i) 行列\(A\)に対して、ある\(n\geqq 1\)が存在して\(A^n=E\)(単位行列)であれば、\(A\)は正則である。これを示せ。

(1-ii) 2次実正方行列\(X\)を変数とする以下の方程式に解は存在するか。もし存在するならば解のひとつを求めよ。

\[ \begin{pmatrix}2&2\\4&3\end{pmatrix}X+X\begin{pmatrix}1&1\\0&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&2\\0&1\end{pmatrix}\]

(1-iii) \(n\)次正方行列\(A\)の固有値を\(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n\)で表す。この時

\[ \text{trace}(A)=\lambda_1+\lambda_2+\dots+\lambda_n\]

を示せ。

問題

(1) つぎのランダムな振幅\(A\)とランダムな位相\(\phi\)を持った正弦波信号\(X(t)=A\sin(\omega t+\phi)\)を考える。ここで、\(t\)は時間、\(\omega\)は角周波数であり、\(A,\phi\)は互いに独立とする。このとき

\[ X(t)=Y\sin\omega t+Z\cos\omega t\]

と表現し、新しい確率変数\(Y,Z\)を定義する。

(1-1) \(Y,Z\) を\(A,\phi\)で表せ。

(1-2) \(A\)の確率密度関数が

\[ p_A(x)=x\exp\left(-\frac{x^2}2\right),\quad(x\gt 0)\]

で\(\phi\)が\((0,2\pi)\)上の一様分布に従うとする。このとき、\(Y,Z\)の同時確率密度関数を計算し\(X(t)\)の確率密度関数を求めよ。