確率空間\((\Omega,A,\mathbb{P})\) 事象列\(A_1,A_2,\dots,A_n\subset A\) 事象列の上極限を
\[ \mathop{\rm lim sup}_{n\to\infty}A_n=\bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{k=n}^\infty A_k\]
と定義する。このとき、
\[ \sum_{n=1}^\infty \mathbb{P}[A_n]\lt\infty \Rightarrow \mathbb{P}[\mathop{\rm lim sup}_{n\to\infty}A_n]=0\]
が成立。以上が補題の主張。
pythonでnumpy配列を扱う何がしかのコードを書く時のあるある、久しぶりに書くと目的をスマートに達成するうまい書き方がわからない。配列は特にうまい書き方をするかしないかによってコードの行数にもろに響いてくる。forのネストでぶん回すのとか昔のC言語感しかしないよね。
(1-i) 行列\(A\)に対して、ある\(n\geqq 1\)が存在して\(A^n=E\)(単位行列)であれば、\(A\)は正則である。これを示せ。
(1-ii) 2次実正方行列\(X\)を変数とする以下の方程式に解は存在するか。もし存在するならば解のひとつを求めよ。
\[ \begin{pmatrix}2&2\\4&3\end{pmatrix}X+X\begin{pmatrix}1&1\\0&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&2\\0&1\end{pmatrix}\]
(1-iii) \(n\)次正方行列\(A\)の固有値を\(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n\)で表す。この時
\[ \text{trace}(A)=\lambda_1+\lambda_2+\dots+\lambda_n\]
を示せ。
(1) つぎのランダムな振幅\(A\)とランダムな位相\(\phi\)を持った正弦波信号\(X(t)=A\sin(\omega t+\phi)\)を考える。ここで、\(t\)は時間、\(\omega\)は角周波数であり、\(A,\phi\)は互いに独立とする。このとき
\[ X(t)=Y\sin\omega t+Z\cos\omega t\]
と表現し、新しい確率変数\(Y,Z\)を定義する。
(1-1) \(Y,Z\) を\(A,\phi\)で表せ。
(1-2) \(A\)の確率密度関数が
\[ p_A(x)=x\exp\left(-\frac{x^2}2\right),\quad(x\gt 0)\]
で\(\phi\)が\((0,2\pi)\)上の一様分布に従うとする。このとき、\(Y,Z\)の同時確率密度関数を計算し\(X(t)\)の確率密度関数を求めよ。
(1) \(n\times m\)の行列\(M\)の階数が\(m\)であることと、\(|M^TM|\neq 0\)が等価であることを示せ。
(2) ブロック行列
\[ \begin{bmatrix}A&B\\O&C\end{bmatrix}\]
の逆行列を求めよ。ただし\(A,B,C\)はそれぞれ\(n\times n, n\times m, m\times m\)で\(|A|\neq 0,|C|\neq 0\)である。
(3) 行列
\[ \begin{bmatrix}-5&1&4&1&1\\ 1&2&5&1&0\\ -2&0&5&0&1\\ 3&3&9&2&0\\ 0&0&-1&1&1\end{bmatrix}\]
の固有ベクトルの1つが\([1\ 2\ a\ b\ 5]^T\)であるという。\(a,b\)の値を求めよ。