2次元Laplace方程式で、単位円周上で境界値が与えられている境界値問題を考えます。つまり

Δu(x,y)=0(x2+y2<1)u(x,y)=f(x,y)(x2+y2=1)

です。この解はu(rcosθ,rsinθ)=U(r,θ)という極座標表示を用いて、次のように書き表すことが出来ます。