\(U\)を一様分布\(U(0,1)\)に従う乱数とする。このとき、ある確率密度関数\(f(x)\)に対する累積分布関数\(F(x)\)の逆関数\(F^{-1}\)を用いて、乱数\(X\)を\(X=F^{-1}(U)\)と定義すると\(X\)は分布\(f(x)\)に従う。

\(n\times n\)の正定値対象行列\(A\)、\(x\in\mathbb{R}^n\)、\(b\in\mathbb{R}^n\)について関数

\[ f(x)=\frac12x^\mathrm{T}Ax-b^\mathrm{T}x\tag{1}\]

を反復法によって最小化するとき、互いに\(A\)共役な方向について探索を行えば高々\(n\)回の反復で最小値に収束する。このときの\(x\)が線形方程式\(Ax=b\)の解であることは前のページで説明した。

\(A\)を\(n\times n\)の正方行列で正定値対称行列とする。\(x\in\mathbb{R}^n\)を変数ベクトル、\(b\in\mathbb{R}^n\)を定数ベクトルとする線形方程式

\[ Ax=b\tag{1}\]

は共役勾配法(Conjugate Gradient Method: CG法)によって解くことができる。共役勾配法ではまず、この問題を次の関数\(f(x)\)の最小化問題に取り換える。

\[ f(x)=\frac12x^\mathrm{T}Ax-b^\mathrm{T}x\tag{2}\]

このページではこの部分について詳細に説明する。

概要

流体力学などでもっとも基本的な事項である連続の方程式を、質量保存の観点から導き出す。また、その他様々な導出のバリエーションを紹介する。

概要

Pythonはスクリプト言語のひとつでWindowsでも簡単に使うことができる。Pythonを使うとコンピュータが得意だろうと想像できることのほぼすべての作業をC言語などに比べて圧倒的に簡単に実現できる。それに加えてよっぽど細かな反復が多い処理でなければC言語のネイティブコードに劣らないパフォーマンスで作業を終えてくる。Pythonに標準の機能やパッケージだけでほぼ全てとはいかなくてもPythonにはパッケージ管理システムが標準装備されているので大抵のことはpython+何かのキーワードで検索することで必要なパッケージとやり方が出てくる。