2次元Laplace方程式で、単位円周上で境界値が与えられている境界値問題を考えます。つまり

\[ \begin{align}\Delta u(x,y)=0&\qquad(x^2+y^2\lt1)\\ u(x,y)=f(x,y)&\qquad(x^2+y^2=1)\end{align}\]

です。この解は\(u(r\cos\theta,r\sin\theta)=U(r,\theta)\)という極座標表示を用いて、次のように書き表すことが出来ます。

なんでMathjax効かないんやとおもったらこれの影響を受けている模様。

変数分離の方法でLaplace方程式を解きます。電磁気学などでよく現れるあれです（あっちは3次元ですけど）。数学的に細かい話は気にしないことをあらかじめ断っておく。

\(X\)を確率変数とし、その平均を\(\mu=\mathbb{E}[X]\)とする。このとき、ある正数\(\sigma\)が存在して

\[ \mathbb{E}[e^{\lambda(X-\mu)}]\le e^{\sigma^2\lambda^2/2}\]

を任意の\(\lambda\)について満たすとき、\(X\)はパラメータ\(\sigma\)のsub-Gaussianであるという。

これが確率変数のsub-Gaussian性です。性の付き方おかしい気がしますが、、。日本語で言うと準ガウス性といったところでしょうか。訳しているところ見たことありませんが。

マルコフの不等式 （Markov's inequality）

正の値を取る確率変数\(X\)について

\[ \mathbb{P}[X\ge t]\le\frac{\mathbb{E}[X]}{t}\]

が成立する。これをMarkovの不等式という。これを示す。

LaTeXの文章内にURLを貼りたいときがあると思います。そういう場合には\usepackage{url}をしてから\url{}の中にURLを書きましょう。こうすると何が起こるかというと,

• フォントファミリがそれらしくなる
• 普通に打ち込むと表示されない文字がエスケープされてちゃんと表示される
• PDFにしたときにハイパーリンクが貼られる

つまり最強です。