問題

(1-i) 行列$A$に対して、ある$n\geqq 1$が存在して$A^n=E$(単位行列)であれば、$A$は正則である。これを示せ。

(1-ii) 2次実正方行列$X$を変数とする以下の方程式に解は存在するか。もし存在するならば解のひとつを求めよ。

$$\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 4& 3\end{array}\right)X+X\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$$

(1-iii) $n$次正方行列$A$の固有値を${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$で表す。この時

$$\text{trace}(A)={\lambda }_1+{\lambda }_2+\cdots +{\lambda }_n$$

を示せ。

問題

(1) 3次元実ベクトル空間において、媒介変数$p,q$によって定義される平面

$$\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 1\end{array}\right)+p\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 1\end{array}\right)+q\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 0\end{array}\right)$$

を考える。この平面を、$\alpha$を係数ベクトル、$x$を変数ベクトルとする方程式${\alpha }^{T}x=1$で表したとき、係数ベクトル$\alpha$の値を求めよ。

(2) 実数$x,y,\alpha$によって定義される不等式

$$x^2+y^2+axy>0$$

を考える。この不等式が$x=y=0$を除くすべての$x,y$の組に対して成立するための必要十分条件を$\alpha$の範囲として求めよ。

(3) 正方の複素行列$A$がユニタリ行列によって対角化されるとき、$A{A}^{\ast }=A^{\ast }A$が満たされることを証明せよ。

問題

(1-1) $x$を実数として、次の行列のランクを求めよ。

$$\left(\begin{array}{ccc}1& x& x\\ x& 1& x\\ x& x& 1\end{array}\right)$$

(1-2) 整数行列$A$(全ての要素が整数であるような行列)について、$A^{-1}$も整数行列になるなら$A$の行列式は$1$,$-1$のいずれかになることを証明せよ。

(1-3) $A^T=-A$を満たす実行列$A$について、この行列の固有値$\lambda$とそれに関する固有ベクトル$x$に対して$A^{T}x=\bar{\lambda }x$の関係が知られている。これを用いて、行列$A$の固有値は純虚数になることを示せ。

問題

$e$をネイピア数(自然対数の底)とし,$\exp (x)=e^x$とする。

(1) 正整数$N$と実数$\alpha$を用いて,$e=\alpha /N$とする。

(1-1) 指数関数$e^x$のマクローリン展開を書け。

(1-2) 次の不等式が成り立つことを示せ。

$$(N-1)!\alpha -\sum _{n=0}^N\frac{N!}{n!}<1$$

(1-3) 設問(1-2)の結果を用いて、実数$\alpha$が整数ではないことを示せ。

問題

(1) 確率変数$X$が以下の確率密度関数をもつ確率分布に従うものとする。

$$f(x)=\{\begin{array}{cc}\sqrt{\frac{1}{\pi \alpha }}{x}^{-\frac{1}{2}}{e}^{-\frac{x}{\alpha }}& (x>0)\\ 0& (x\leqq 0)\end{array}$$

ここで、$\alpha >0$はパラメータである。

(1-1) 確率変数$X$の期待値を求めよ。

(1-2) 確率変数$X$の分散を求めよ。

(1-3) 上記の確率分布を母集団分布としてもつ母集団から$n$個の無作為標本$\mathcal{X}=\{X_1,X_2,\dots ,X_n\}$が得られたとする。パラメータ$\alpha$の、$\mathcal{X}$に基づく最尤推定量を求めよ。

(1-4) 設問(1-3)で求めた最尤推定量が、パラメータ$\alpha$の不偏推定量であるかどうかを理由と共に答えよ。