(1) 1の16乗根で偏角が正で最小のものを\(z(\neq 1)\)とするとき、次の和を求めよ。
\[ S=\sum_{k=0}^7z^{2k}\]
(2) 次の定積分の値を求めよ。ただし(\(0<a<b\))
\[ I=\int_{-\infty}^\infty \frac{dx}{(x^2+a^2)(x^2+b^2)}\]
(3) \(z=x+iy\)とするとき、関数\(f(z)=\sin(z^2)\)の実部を\(x\)と\(y\)で表せ。
(4) 複素変数\(z=x+iy\)の正則関数\(f(z)\)の実部、虚部...
(1) 次の行列\(A\)を考える。
\[ A=\begin{pmatrix}1&-1&1\\1&0&-1\\-1&0&3\end{pmatrix}\]
(1-1) \(A=PJP^{-1}\)となるような行列\(P\)行列\(J\)が存在する。このとき\(J\)とそのような\(P\)のひとつを求めよ。ただし\(J\)は次の形式の行列とする。
\[ J=\begin{pmatrix}a&0&0\\0&b&1\\0&0&b\end{pmatrix}\]
(1-2) \(J^7,A^7\)を求めよ。
(1-1) \(x\)を実数として、次の行列のランクを求めよ。
\[ \begin{pmatrix}1&x&x\\x&1&x\\x&x&1\end{pmatrix}\]
(1-2) 整数行列\(A\)(全ての要素が整数であるような行列)について、\(A^{-1}\)も整数行列になるなら\(A\)の行列式は\(1\),\(-1\)のいずれかになることを証明せよ。
(1-3) \(A^T=-A\)を満たす実行列\(A\)について、この行列の固有値\(\lambda\)とそれに関する固有ベクトル\(x\)に対して\(A^Tx=\overline{\lambda}x\)の関係が知られている。これを用いて、行列\(A\)の固有値は純虚数になることを示せ。
(1) 確率変数\(X\)が以下の確率密度関数をもつ確率分布に従うものとする。
\[ f(x)=\left\{\begin{matrix}\sqrt{\frac1{\pi\alpha}}x^{-\frac12}e^{-\frac{x}{\alpha}}&(x>0)\\ 0&(x\leqq 0)\end{matrix}\right.\]
ここで、\(\alpha>0\)はパラメータである。
(1-1) 確率変数\(X\)の期待値を求めよ。
(1-2) 確率変数\(X\)の分散を求めよ。
(1-3) 上記の確率分布を母集団分布としてもつ母集団から\(n\)個の無作為標本\(\mathcal{X}=\{X_1,X_2,\dots,X_n\}\)が得られたとする。パラメータ\(\alpha\)の、\(\mathcal{X}\)に基づく最尤推定量を求めよ。
(1-4) 設問(1-3)で求めた最尤推定量が、パラメータ\(\alpha\)の不偏推定量であるかどうかを理由と共に答えよ。
あるコインを投げると、確率\(p\)で表、確率\(q=1-p\)で裏が出る(\(0\lt p\lt 1\))。このコインを投げる独立な試行を、表が出るまで繰り返す。初めて表が出るまでに投げた回数を確率変数\(T\)で表す。ただし表が出た試行も回数に含める。
(1) \(T=n (n=1,2,\dots)\)となる確率\(P(T=n)\)を求めよ。
(2) 確率変数\(T\)の期待値と分散を求めよ。