問題
(1) \(n\times n\)実行列\(A,B\)について以下を証明せよ。
- \(A+B\)が正則ならば\(A(A+B)^{-1}B=B(A+B)^{-1}A\)
- \(A,B\)が正則ならば\(A^{-1}+B^{-1}=A^{-1}(A+B)B^{-1}\)
- \(A,B,A+B\)が正則ならば\((A^{-1}+B^{-1})^{-1}=A(A+B)^{-1}B\)
問題
(1) \(x \)および\(b \)を\(n \)次元ベクトル、\(A \)を\(n\times n \)の正定対称行列、\(c \)をスカラとする。このとき
\[ f(x)=x^TAx+b^Tx+c\]
の極値および極値点を求めよ。
(2) \(n\times n\)の実行列\(A,B\)に対し、
\[ \ker A\cap\ker B\subseteq\ker(A+B)\]
が成り立つことを証明せよ。ただし\(\ker X\)は行列\(X\)で表現される線形写像の核(ゼロ空間)を表す。
問題
(1) 3次元実ベクトル空間において、媒介変数\(p,q\)によって定義される平面
\[ \begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}+p\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix} +q\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}\]
を考える。この平面を、\(\alpha\)を係数ベクトル、\(x\)を変数ベクトルとする方程式\(\alpha^Tx=1\)で表したとき、係数ベクトル\(\alpha\)の値を求めよ。
(2) 実数\(x,y,\alpha\)によって定義される不等式
\[ x^2+y^2+axy>0\]
を考える。この不等式が\(x=y=0\)を除くすべての\(x,y\)の組に対して成立するための必要十分条件を\(\alpha\)の範囲として求めよ。
(3) 正方の複素行列\(A\)がユニタリ行列によって対角化されるとき、\(AA^*=A^*A\)が満たされることを証明せよ。
問題
\(e\)をネイピア数(自然対数の底)とし,\(\exp(x)=e^x\)とする。
(1) 正整数\(N\)と実数\(\alpha\)を用いて,\(e=\alpha/N\)とする。
(1-1) 指数関数\(e^x\)のマクローリン展開を書け。
(1-2) 次の不等式が成り立つことを示せ。
\[ (N-1)!\alpha-\sum_{n=0}^N\frac{N!}{n!}<1\]
(1-3) 設問(1-2)の結果を用いて、実数\(\alpha\)が整数ではないことを示せ。
問題
(1) 1の16乗根で偏角が正で最小のものを\(z(\neq 1)\)とするとき、次の和を求めよ。
\[ S=\sum_{k=0}^7z^{2k}\]
(2) 次の定積分の値を求めよ。ただし(\(0<a<b\))
\[ I=\int_{-\infty}^\infty \frac{dx}{(x^2+a^2)(x^2+b^2)}\]
(3) \(z=x+iy\)とするとき、関数\(f(z)=\sin(z^2)\)の実部を\(x\)と\(y\)で表せ。
(4) 複素変数\(z=x+iy\)の正則関数\(f(z)\)の実部、虚部...