(1) 確率変数\(X\)が以下の確率密度関数をもつ確率分布に従うものとする。
\[ f(x)=\left\{\begin{matrix}\sqrt{\frac1{\pi\alpha}}x^{-\frac12}e^{-\frac{x}{\alpha}}&(x>0)\\ 0&(x\leqq 0)\end{matrix}\right.\]
ここで、\(\alpha>0\)はパラメータである。
(1-1) 確率変数\(X\)の期待値を求めよ。
(1-2) 確率変数\(X\)の分散を求めよ。
(1-3) 上記の確率分布を母集団分布としてもつ母集団から\(n\)個の無作為標本\(\mathcal{X}=\{X_1,X_2,\dots,X_n\}\)が得られたとする。パラメータ\(\alpha\)の、\(\mathcal{X}\)に基づく最尤推定量を求めよ。
(1-4) 設問(1-3)で求めた最尤推定量が、パラメータ\(\alpha\)の不偏推定量であるかどうかを理由と共に答えよ。
あるコインを投げると、確率\(p\)で表、確率\(q=1-p\)で裏が出る(\(0\lt p\lt 1\))。このコインを投げる独立な試行を、表が出るまで繰り返す。初めて表が出るまでに投げた回数を確率変数\(T\)で表す。ただし表が出た試行も回数に含める。
(1) \(T=n (n=1,2,\dots)\)となる確率\(P(T=n)\)を求めよ。
(2) 確率変数\(T\)の期待値と分散を求めよ。
(1) 1の16乗根で偏角が正で最小のものを\(z(\neq 1)\)とするとき、次の和を求めよ。
\[ S=\sum_{k=0}^7z^{2k}\]
(2) 次の定積分の値を求めよ。ただし(\(0<a<b\))
\[ I=\int_{-\infty}^\infty \frac{dx}{(x^2+a^2)(x^2+b^2)}\]
(3) \(z=x+iy\)とするとき、関数\(f(z)=\sin(z^2)\)の実部を\(x\)と\(y\)で表せ。
(4) 複素変数\(z=x+iy\)の正則関数\(f(z)\)の実部、虚部...
(1) つぎのランダムな振幅\(A\)とランダムな位相\(\phi\)を持った正弦波信号\(X(t)=A\sin(\omega t+\phi)\)を考える。ここで、\(t\)は時間、\(\omega\)は角周波数であり、\(A,\phi\)は互いに独立とする。このとき
\[ X(t)=Y\sin\omega t+Z\cos\omega t\]
と表現し、新しい確率変数\(Y,Z\)を定義する。
(1-1) \(Y,Z\) を\(A,\phi\)で表せ。
(1-2) \(A\)の確率密度関数が
\[ p_A(x)=x\exp\left(-\frac{x^2}2\right),\quad(x\gt 0)\]
で\(\phi\)が\((0,2\pi)\)上の一様分布に従うとする。このとき、\(Y,Z\)の同時確率密度関数を計算し\(X(t)\)の確率密度関数を求めよ。
(1) \(n\times m\)の行列\(M\)の階数が\(m\)であることと、\(|M^TM|\neq 0\)が等価であることを示せ。
(2) ブロック行列
\[ \begin{bmatrix}A&B\\O&C\end{bmatrix}\]
の逆行列を求めよ。ただし\(A,B,C\)はそれぞれ\(n\times n, n\times m, m\times m\)で\(|A|\neq 0,|C|\neq 0\)である。
(3) 行列
\[ \begin{bmatrix}-5&1&4&1&1\\ 1&2&5&1&0\\ -2&0&5&0&1\\ 3&3&9&2&0\\ 0&0&-1&1&1\end{bmatrix}\]
の固有ベクトルの1つが\([1\ 2\ a\ b\ 5]^T\)であるという。\(a,b\)の値を求めよ。