(1) \(n\times m\)の行列\(M\)の階数が\(m\)であることと、\(|M^TM|\neq 0\)が等価であることを示せ。
(2) ブロック行列
\[ \begin{bmatrix}A&B\\O&C\end{bmatrix}\]
の逆行列を求めよ。ただし\(A,B,C\)はそれぞれ\(n\times n, n\times m, m\times m\)で\(|A|\neq 0,|C|\neq 0\)である。
(3) 行列
\[ \begin{bmatrix}-5&1&4&1&1\\ 1&2&5&1&0\\ -2&0&5&0&1\\ 3&3&9&2&0\\ 0&0&-1&1&1\end{bmatrix}\]
の固有ベクトルの1つが\([1\ 2\ a\ b\ 5]^T\)であるという。\(a,b\)の値を求めよ。
(1) 実数\(x\)について、無限級数\(\lim_{M\to\infty}\sum_{m=0}^M(-x)^m\)が収束するとき、以下を計算せよ。ただし\(x^0\equiv 0\)とする。
\[ (1+x)\lim_{M\to\infty}\sum_{m=0}^M(-x)^m\]
(2) \(n\times n\)実行列\(A\)について、ある自然数\(k\)があり、\(A^k=O\)(ゼロ行列)とする。この時\(I+A\)は正則であることを示せ。
(1) \(n\times n\)実行列\(A,B\)について以下を証明せよ。
(1) \(x \)および\(b \)を\(n \)次元ベクトル、\(A \)を\(n\times n \)の正定対称行列、\(c \)をスカラとする。このとき
\[ f(x)=x^TAx+b^Tx+c\]
の極値および極値点を求めよ。
(2) \(n\times n\)の実行列\(A,B\)に対し、
\[ \ker A\cap\ker B\subseteq\ker(A+B)\]
が成り立つことを証明せよ。ただし\(\ker X\)は行列\(X\)で表現される線形写像の核(ゼロ空間)を表す。
\(e\)をネイピア数(自然対数の底)とし,\(\exp(x)=e^x\)とする。
(1) 正整数\(N\)と実数\(\alpha\)を用いて,\(e=\alpha/N\)とする。
(1-1) 指数関数\(e^x\)のマクローリン展開を書け。
(1-2) 次の不等式が成り立つことを示せ。
\[ (N-1)!\alpha-\sum_{n=0}^N\frac{N!}{n!}<1\]
(1-3) 設問(1-2)の結果を用いて、実数\(\alpha\)が整数ではないことを示せ。