(1) 次の行列\(A\)を考える。
\[ A=\begin{pmatrix}1&-1&1\\1&0&-1\\-1&0&3\end{pmatrix}\]
(1-1) \(A=PJP^{-1}\)となるような行列\(P\)行列\(J\)が存在する。このとき\(J\)とそのような\(P\)のひとつを求めよ。ただし\(J\)は次の形式の行列とする。
\[ J=\begin{pmatrix}a&0&0\\0&b&1\\0&0&b\end{pmatrix}\]
(1-2) \(J^7,A^7\)を求めよ。
確率変数\(X_1,X_2,\dots,X_n,\ Y_1,Y_2,\dots,Y_m\)は独立に正規分布に従い、それぞれ\(X_i\sim N(a\theta,\sigma^2),\ Y_j\sim N(b\theta,\sigma^2)\)とする。(\(i=1,2,\dots,n,\ j=1,2,\dots,m\)) ただし、\(N(\mu,\sigma^2)\)は平均\(\mu\)、分散\(\sigma^2\)の正規分布を表しており\(n,m\)は正の正数、\(a,b>0\)は定数で既知とする。\(\theta,\sigma^2\)は未知パラメータとする。
(1) \(\theta,\sigma^2\)について、\(X_1,X_2,\dots,X_n,Y_1,Y_2,\dots,Y_m\)を全て用いた最尤推定量を求めよ。
(2) 定数\(\alpha,\beta\)を用いて\(\tilde{\theta}=\alpha\overline{X}+\beta\overline{Y}\)と定義する。ただし、\(\overline{X}=(X_1+\dots,X_n)/n,\ \overline{Y}=(Y_1+\dots,Y_m)/n\)である。\(\tilde{\theta}\)の期待値\(E(\tilde{\theta})\)と分散\(V(\tilde{\theta})\)を求めよ。
(3) \(\tilde{\theta}\)が\(\theta\)の不偏推定量となるために\(\alpha,\beta\)が満たす条件は何か。また、不偏推定量となる\(\tilde{\theta}\)が\(V(\tilde{\theta})\)を最小にするときの\(\alpha,\beta\)の値を求めよ。
(1) 確率変数\(Z_i=(X_i,Y_i), i=1,2,\dots,n\)は独立に次のように定義される確率分布に従う。各\(X_i,Y_i\)は0または1を値にとり、\(P(X_i=1)=\alpha,\ P(Y_i=1|X_i)=\beta X_i\)とする(一般に\(X_i\)と\(Y_i\)は独立ではない)。ただし\(n\)は正の整数、\(0<\alpha<1,\ 0<\beta<1\)は未知パラメータである。このとき以下の設問に答えなさい。
(1-1) 同時確率\(P(X_i=x,Y_i=y)\)を\((x,y)\)の取りうるすべての値について求めなさい。ただし\(\alpha,\beta\)を用いること。
(1-2) \(Z_i,\ i=1,2,\dots,n\)をすべて用いて、\(\alpha,\beta\)の最尤推定量\(\hat\alpha_n,\hat\beta_n\)を求めなさい。
(1-3) 制約条件\(\alpha+\beta=1\)を仮定する。このとき\(Z_i,\ i=1,2,\dots,n\)をすべて用いて、\(\alpha\)の最尤推定量\(\hat\alpha_n\)を求めなさい。
(1) 以下の設問に答えよ。
(1-1) 次の値を求めよ。
\[ \int_1^\infty\frac{dx}{(x^2+1)^2}\]
(1-2) 関数\(f(x)\)は任意の\(x\ge 1\)において微分可能であり、次式を満たすとする。
\[ \begin{align} f(1)&=1\\f'(x)&=\frac{2}{\sqrt{f(x)}+1}\left(\frac{1}{x^2+\{f(x)\}^2}\right)^2 \quad(x\ge 1) \end{align}\]
このとき\(\lim_{x\to\infty}f(x)\)が有限の値に収束することを示せ。
(1) 行列\(A\)を次のようにおく。
\[ A=\begin{bmatrix}9&-26&24\\1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}\]
(1-1) 行列\(A\)の固有値をすべて求めよ。
(1-2) 行列\(B=(A-I)((A-2I)(A-3I)(A-4I)+I)\)とする。\(I\)は3次の単位行列。\(B\)の固有値をすべて求めよ。
(1-3) 設問(1-2)の行列\(B\)について、\(B^3-6B^2+11B\)をもとめよ。
(2) 最初の2項が\(x_0=2,x_1=1\)であり、それ以降直前の2項...