2019-05-23 12:33 / 2020-06-07 17:12 とある数学の問題と解答のメモ621 問題 (1) xおよびbをn次元ベクトル、Aをn×nの正定対称行列、cをスカラとする。このとき f(x)=xTAx+bTx+c の極値および極値点を求めよ。 (2) n×nの実行列A,Bに対し、 kerA∩kerB⊆ker(A+B) が成り立つことを証明せよ。ただしkerXは行列Xで表現される線形写像の核(ゼロ空間)を表す。
2019-05-23 12:33 / 2020-06-07 17:12 とある数学の問題と解答のメモ521 問題 (1) n×mの行列Mの階数がmであることと、|MTM|≠0が等価であることを示せ。 (2) ブロック行列 [ABOC] の逆行列を求めよ。ただしA,B,Cはそれぞれn×n,n×m,m×mで|A|≠0,|C|≠0である。 (3) 行列 [−5141112510−205013392000−111] の固有ベクトルの1つが[1 2 a b 5]Tであるという。a,bの値を求めよ。
2019-05-23 12:33 / 2020-06-07 17:12 とある数学の問題と解答のメモ221 問題 (1) n×n実行列A,Bについて以下を証明せよ。 A+Bが正則ならばA(A+B)−1B=B(A+B)−1A A,Bが正則ならばA−1+B−1=A−1(A+B)B−1 A,B,A+Bが正則ならば(A−1+B−1)−1=A(A+B)−1B
2019-05-23 12:33 / 2020-06-07 17:12 とある数学の問題と解答のメモ321 問題 (1) 実数xについて、無限級数limM→∞∑m=0M(−x)mが収束するとき、以下を計算せよ。ただしx0≡0とする。 (1+x)limM→∞∑m=0M(−x)m (2) n×n実行列Aについて、ある自然数kがあり、Ak=O(ゼロ行列)とする。この時I+Aは正則であることを示せ。
2019-05-23 12:33 / 2020-06-07 17:12 とある数学の問題と解答のメモ124 問題 (1) つぎのランダムな振幅Aとランダムな位相ϕを持った正弦波信号X(t)=Asin(ωt+ϕ)を考える。ここで、tは時間、ωは角周波数であり、A,ϕは互いに独立とする。このとき X(t)=Ysinωt+Zcosωt と表現し、新しい確率変数Y,Zを定義する。 (1-1) Y,Z をA,ϕで表せ。 (1-2) Aの確率密度関数が pA(x)=xexp(−x22),(x>0) でϕが(0,2π)上の一様分布に従うとする。このとき、Y,Zの同時確率密度関数を計算しX(t)の確率密度関数を求めよ。