問題

(1) $x$および$b$を$n$次元ベクトル、$A$を$n\times n$の正定対称行列、$c$をスカラとする。このとき

$$f(x)=x^{T}Ax+b^{T}x+c$$

の極値および極値点を求めよ。

(2) $n\times n$の実行列$A,B$に対し、

$$\ker A\cap \ker B\subseteq \ker (A+B)$$

が成り立つことを証明せよ。ただし$\ker X$は行列$X$で表現される線形写像の核(ゼロ空間)を表す。

問題

(1) $n\times m$の行列$M$の階数が$m$であることと、$|M^{T}M|\ne 0$が等価であることを示せ。

(2) ブロック行列

$$\left[\begin{array}{cc}A& B\\ O& C\end{array}\right]$$

の逆行列を求めよ。ただし$A,B,C$はそれぞれ$n\times n,n\times m,m\times m$で$|A|\ne 0,|C|\ne 0$である。

(3) 行列

$$\left[\begin{array}{ccccc}-5& 1& 4& 1& 1\\ 1& 2& 5& 1& 0\\ -2& 0& 5& 0& 1\\ 3& 3& 9& 2& 0\\ 0& 0& -1& 1& 1\end{array}\right]$$

の固有ベクトルの1つが$[12ab5{]}^T$であるという。$a,b$の値を求めよ。

問題

(1) $n\times n$実行列$A,B$について以下を証明せよ。

• $A+B$が正則ならば$A(A+B{)}^{-1}B=B(A+B{)}^{-1}A$
• $A,B$が正則ならば$A^{-1}+B^{-1}=A^{-1}(A+B)B^{-1}$
• $A,B,A+B$が正則ならば$(A^{-1}+B^{-1}{)}^{-1}=A(A+B{)}^{-1}B$

問題

(1) 実数$x$について、無限級数$\underset{M\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{m=0}^M(-x{)}^m$が収束するとき、以下を計算せよ。ただし$x^0\equiv 0$とする。

$$(1+x)\underset{M\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{m=0}^M(-x{)}^m$$

(2) $n\times n$実行列$A$について、ある自然数$k$があり、$A^k=O$(ゼロ行列)とする。この時$I+A$は正則であることを示せ。

問題

(1) つぎのランダムな振幅$A$とランダムな位相$\varphi$を持った正弦波信号$X(t)=A\sin (\omega t+\varphi )$を考える。ここで、$t$は時間、$\omega$は角周波数であり、$A,\varphi$は互いに独立とする。このとき

$$X(t)=Y\sin \omega t+Z\cos \omega t$$

と表現し、新しい確率変数$Y,Z$を定義する。

(1-1) $Y,Z$ を$A,\varphi$で表せ。

(1-2) $A$の確率密度関数が

$$p_A(x)=x\exp (-\frac{x^2}{2}),(x>0)$$

で$\varphi$が$(0,2\pi )$上の一様分布に従うとする。このとき、$Y,Z$の同時確率密度関数を計算し$X(t)$の確率密度関数を求めよ。