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問題

(1) xおよびbn次元ベクトル、An×nの正定対称行列、cをスカラとする。このとき

f(x)=xTAx+bTx+c

の極値および極値点を求めよ。

(2) n×nの実行列A,Bに対し、

kerAkerBker(A+B)

が成り立つことを証明せよ。ただしkerXは行列Xで表現される線形写像の核(ゼロ空間)を表す。

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問題

(1) n×mの行列Mの階数がmであることと、|MTM|0が等価であることを示せ。

(2) ブロック行列

[ABOC]

の逆行列を求めよ。ただしA,B,Cはそれぞれn×n,n×m,m×m|A|0,|C|0である。

(3) 行列

[5141112510205013392000111]

の固有ベクトルの1つが[1 2 a b 5]Tであるという。a,bの値を求めよ。

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問題

(1) n×n実行列A,Bについて以下を証明せよ。

  • A+Bが正則ならばA(A+B)1B=B(A+B)1A
  • A,Bが正則ならばA1+B1=A1(A+B)B1
  • A,B,A+Bが正則ならば(A1+B1)1=A(A+B)1B
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問題

(1) 実数xについて、無限級数limMm=0M(x)mが収束するとき、以下を計算せよ。ただしx00とする。

(1+x)limMm=0M(x)m

(2) n×n実行列Aについて、ある自然数kがあり、Ak=O(ゼロ行列)とする。この時I+Aは正則であることを示せ。

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問題

(1) つぎのランダムな振幅Aとランダムな位相ϕを持った正弦波信号X(t)=Asin(ωt+ϕ)を考える。ここで、tは時間、ωは角周波数であり、A,ϕは互いに独立とする。このとき

X(t)=Ysinωt+Zcosωt

と表現し、新しい確率変数Y,Zを定義する。

(1-1) Y,ZA,ϕで表せ。

(1-2) Aの確率密度関数が

pA(x)=xexp(x22),(x>0)

ϕ(0,2π)上の一様分布に従うとする。このとき、Y,Zの同時確率密度関数を計算しX(t)の確率密度関数を求めよ。