ボルツマン方程式の衝突項まわりで現れる衝突積分の対象関係式を導出する。

Reference Chapter4. of Non-convex Optimization for Machine Learning https://arxiv.org/abs/1712.07897 "Alternating Minimization".

前ページ、一般的な交互最小化の収束性についての続きです。

補題1 Bistable Pointの必要十分条件

関数\(f:\mathbb{R}^p\times\mathbb{R}^q\to\mathbb{R}\)が連続微分可能で、それぞれの変数について周辺凸関数であるとき、点\((x,y)\)がbistableであることと\(\nabla f(x,y)=0\)であることは同値。

Reference Chapter4. of Non-convex Optimization for Machine Learning https://arxiv.org/abs/1712.07897 "Alternating Minimization".

多変数関数における変数の分割

関数\(f:\mathbb{R}^d\to\mathbb{R}\)を目的関数とする最小化問題について考える。\(d=p+q\)なる\(p,q\)を用いて関数\(f\)を\(f:\mathbb{R}^p\times\mathbb{R}^q\to\mathbb{R}\)と見なすことが出来る。これは変数の内\(p\)個のサブセットを取ってきて変数を分割しただけ。残った変数\(q\)個をまた別な変数とおく。これを\((x,y)\in\mathbb{R}^p\times\mathbb{R}^q\)として新たに\(f(x,y)\)とおく。よりたくさんの変数に分割する場合にも2分割を繰り返せばよいので一般性を失っていない。制約集合による条件\((x,y)\in\mathcal{X}\times\mathcal{Y}\)を考えてもよい。一般にはそれぞれの制約集合が独立にな条件で与えられているとは限らないので\((x,y)\in\mathcal{Z}\subset\mathbb{R}^p\times\mathbb{R}^q\)という形になることに注意せよ。

2次元Laplace方程式で、単位円周上で境界値が与えられている境界値問題を考えます。つまり

\[ \begin{align}\Delta u(x,y)=0&\qquad(x^2+y^2\lt1)\\ u(x,y)=f(x,y)&\qquad(x^2+y^2=1)\end{align}\]

です。この解は\(u(r\cos\theta,r\sin\theta)=U(r,\theta)\)という極座標表示を用いて、次のように書き表すことが出来ます。

なんでMathjax効かないんやとおもったらこれの影響を受けている模様。

変数分離の方法でLaplace方程式を解きます。電磁気学などでよく現れるあれです（あっちは3次元ですけど）。数学的に細かい話は気にしないことをあらかじめ断っておく。