\(X\)を確率変数とし、その平均を\(\mu=\mathbb{E}[X]\)とする。このとき、ある正数\(\sigma\)が存在して
\[ \mathbb{E}[e^{\lambda(X-\mu)}]\le e^{\sigma^2\lambda^2/2}\]
を任意の\(\lambda\)について満たすとき、\(X\)はパラメータ\(\sigma\)のsub-Gaussianであるという。
これが確率変数のsub-Gaussian性です。性の付き方おかしい気がしますが、、。日本語で言うと準ガウス性といったところでしょうか。訳しているところ見たことありませんが。
正の値を取る確率変数\(X\)について
\[ \mathbb{P}[X\ge t]\le\frac{\mathbb{E}[X]}{t}\]
が成立する。これをMarkovの不等式という。これを示す。
確率空間\((\Omega,A,\mathbb{P})\) 事象列\(A_1,A_2,\dots,A_n\subset A\) 事象列の上極限を
\[ \mathop{\rm lim sup}_{n\to\infty}A_n=\bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{k=n}^\infty A_k\]
と定義する。このとき、
\[ \sum_{n=1}^\infty \mathbb{P}[A_n]\lt\infty \Rightarrow \mathbb{P}[\mathop{\rm lim sup}_{n\to\infty}A_n]=0\]
が成立。以上が補題の主張。
(1-i) 行列\(A\)に対して、ある\(n\geqq 1\)が存在して\(A^n=E\)(単位行列)であれば、\(A\)は正則である。これを示せ。
(1-ii) 2次実正方行列\(X\)を変数とする以下の方程式に解は存在するか。もし存在するならば解のひとつを求めよ。
\[ \begin{pmatrix}2&2\\4&3\end{pmatrix}X+X\begin{pmatrix}1&1\\0&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&2\\0&1\end{pmatrix}\]
(1-iii) \(n\)次正方行列\(A\)の固有値を\(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n\)で表す。この時
\[ \text{trace}(A)=\lambda_1+\lambda_2+\dots+\lambda_n\]
を示せ。
(1-1) \(x\)を実数として、次の行列のランクを求めよ。
\[ \begin{pmatrix}1&x&x\\x&1&x\\x&x&1\end{pmatrix}\]
(1-2) 整数行列\(A\)(全ての要素が整数であるような行列)について、\(A^{-1}\)も整数行列になるなら\(A\)の行列式は\(1\),\(-1\)のいずれかになることを証明せよ。
(1-3) \(A^T=-A\)を満たす実行列\(A\)について、この行列の固有値\(\lambda\)とそれに関する固有ベクトル\(x\)に対して\(A^Tx=\overline{\lambda}x\)の関係が知られている。これを用いて、行列\(A\)の固有値は純虚数になることを示せ。
